Найдите квадрат суммы:
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 25y^{\,2}=5^2y^{\,2}=(5y\,)^2{\small.}\)
Далее распишем \(\displaystyle 90xy\) как удвоенное произведение:
\(\displaystyle 90xy=2\cdot 9x \cdot 5y{\small.}\)
Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x\,)^2+2\cdot 9x \cdot 5y+(5y\,)^2{\small.}\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=9x\) и \(\displaystyle b=5y{\small:}\)
\(\displaystyle (9x\,)^2+2\cdot 9x \cdot 5y+(5y\,)^2=(9x+5y\,)^2{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x+5y\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (9x+5y\,)^2{\small.}\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 25y^{\,2}=5^2y^{\,2}=(5y\,)^2\) и поэтому
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x\,)^2+90xy+(5y\,)^2{\small.}\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(9x\,)^2}+90xy+\color{green}{(5y\,)^2}{\small,}\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(9x\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(5y\,)^2}{\small.}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 9x\) или \(\displaystyle -9x{\small,}\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 5y\) или \(\displaystyle -5y\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=9x{\small,}\)
\(\displaystyle b=5y{\small.}\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(9x\,)^2+\color{red}{90xy}+(5y\,)^2{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}90xy\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 9x{\small,}\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 5y{\small.}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 9x\cdot 5y{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab=90xy{\small.}\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=9x\) и \(\displaystyle b=5y{\small.}\)
Поскольку
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}{\small,}\)
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(a+b\,)^2{\small,}\)
то, подставляя \(\displaystyle a=9x\) и \(\displaystyle b=5y\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x+5y\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (9x+5y\,)^2{\small.}\)