Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата разности - 1

Задание

Найдите квадрат разности:
 

x^{\, 2}-2xz+z^{\, 2}=\big(\big)^2

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение x^{\,2}-2xz+z^{\, 2} является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.

Наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при a=x и b=z.

Поэтому 

x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.

Ответ: (x-z\,)^2.
 

Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).

Нам известно, что выражение x^{\,2}-2xz+z^{\, 2} является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.

Следовательно,

x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}

для некоторых a и b, которые надо найти.

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}-2xz+\color{green}{z^{\, 2}},

\color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}} и \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{z^{\, 2}}.

Тогда a может быть x или -x, b может быть z или -z (см. соответствующее доказательство).

Выберем значения параметров a и b с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

a=x,

b=z.

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}-\color{red}{2xz}+z^{\, 2},

2ab\overset{?}{=}2xz

при подстановке вместо a параметра x, а вместо b параметра z.

Подставляя, получаем:

2ab=2\cdot x\cdot z,

2ab=2xz.

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств a=x и b=z.

Поскольку

x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},

x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(a-b\,)^2,

то, подставляя a=x и b=z в скобки справа, получаем:

x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.

Ответ: (x-z\,)^2.