Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата разности - 1

Задание

Найдите квадрат разности:
 

\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^{\, 2}\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Перепишем удвоенное произведение \(\displaystyle 40kn\) так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:

\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k\,)^2-2\cdot 4k\cdot 5n+(5n\,)^2.\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=4k\) и \(\displaystyle b=5n\):

\(\displaystyle (4k\,)^2-2\cdot 4k\cdot 5n+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (4k-5n\,)^2.\)

 

Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Следовательно,

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(4k\,)^2}-40kn+\color{green}{(5n\,)^2},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(4k\,)^2}\) и  \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(5n\,)^2}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 4k\) или \(\displaystyle -4k,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 5n\) или \(\displaystyle -5n\) (см. соответствующее доказательство).

Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

\(\displaystyle a=4k,\)

\(\displaystyle b=5n.\)

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(4k\,)^2-\color{red}{40kn}+(5n\,)^2,\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}40kn\)

при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 4k,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 5n.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4k\cdot 5n,\)

\(\displaystyle 2ab=40kn.\)

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=4k\) и \(\displaystyle b=5n.\)

Поскольку

\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(a-b\,)^2,\)

то, подставляя \(\displaystyle a=4k\) и \(\displaystyle b=5n\) в скобки справа, получаем:

\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (4k-5n\,)^2.\)