Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата разности - 2

Задание

Найдите квадрат разности:
 

16s^{\,2}-24s+3^2=\big(\big)^2

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение 16s^{\,2}-24s+3^2 является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.

Сначала заметим, что 16s^{\,2}=4^2s^{\,2}=(4s\,)^2. Далее распишем 24s как удвоенное произведение:

24s=2\cdot 4s \cdot 3.

Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:

16s^{\,2}-24s+3^2=(4s\,)^2-2\cdot 4s \cdot 3+3^2.

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при a=4s и b=3:

(4s\,)^2-2\cdot 4s \cdot 3+3^2=(4s-3)^2.

Таким образом,

16s^{\,2}-24s+3^2=(4s-3)^2.

Ответ: (4s-3)^2.
 

Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).

Нам известно, что выражение 16s^{\,2}-24s+3^2 является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.

Следовательно,

a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=16s^{\,2}-24s+3^2

для некоторых a и b, которые надо найти.

Заметим, что  16s^{\,2}=4^2s^{\, 2}=(4s\,)^2 и поэтому

16s^{\,2}-24s+3^2=(4s\,)^2-24s+3^2.

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(4s\,)^2}-24s+\color{green}{3^2},

\color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(4s\,)^2} и  \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{3^2}.

Тогда a может быть 4s или -4s, b может быть 3 или -3 (см. соответствующее доказательство).

Выберем значения параметров a и b с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

a=4s,

b=3.

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(4s\,)^2-\color{red}{24s}+3^2,

2ab\overset{?}{=}24s

при подстановке вместо a выражения 4s, а вместо b числа 3.

Подставляя, получаем:

2ab=2\cdot 4s\cdot 3,

2ab=24s.

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств a=4s и b=3.

Поскольку

16s^{\,2}-24s+3^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},

16s^{\,2}-24s+3^2=(a-b\,)^2,

то, подставляя a=4s и b=3 в скобки справа, получаем:

16s^{\,2}-24s+3^2=(4s-3)^2.

Ответ: (4s-3)^2.