Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата разности - 2

Задание

Найдите квадрат разности:
 

\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Сначала заметим, что  \(\displaystyle 9z^{\,2}=3^2z^{\,2}=(3z\,)^2\) и \(\displaystyle 25=5^2.\)

Далее распишем \(\displaystyle 30z\) как удвоенное произведение:

\(\displaystyle 30z=2\cdot 3z \cdot 5.\)

Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:

\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z\,)^2-2\cdot 3z \cdot 5+5^2.\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=5\):

\(\displaystyle (3z\,)^2-2\cdot 3z \cdot 5+5^2=(3z-5)^2.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z-5)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3z-5)^2.\)
 

 

Второй способ (нахождение квадрата разности по квадрату и удвоенному произведению).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Следовательно,

\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)

и

\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(a-b\,)^2\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Заметим, что \(\displaystyle 9z^{\,2}=3^2z^{\,2}=(3z\,)^2\) и поэтому \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z\,)^2-30z+25.\)

Если \(\displaystyle a^{\,2}=(3z\,)^2,\) то \(\displaystyle a=3z\) или \(\displaystyle a=-3z\) (см. соответствующее доказательство).

Выберем вариант со знаком плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)), то есть \(\displaystyle a=3z.\)

Перепишем наше равенство

\(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=\color{blue}{a}^{\, 2}-2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)

подставляя вместо \(\displaystyle \color{blue}{a}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{3z}\):

\(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=\color{blue}{(3z\,)}^2-2\cdot\color{blue}{3z}\cdot b+b^{\, 2}.\)

В выражении слева с параметром \(\displaystyle z\) стоит слагаемое \(\displaystyle 30z,\)  а справа – \(\displaystyle 2\cdot 3z\cdot b.\) Приравняем их:

\(\displaystyle 30z=2\cdot 3z\cdot b,\)

\(\displaystyle b=\frac{30z}{2\cdot 3z},\)

\(\displaystyle b=5.\)

Таким образом, \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=5.\) Подставляя в равенство \(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=(a-b\,)^2,\) получаем, что

\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z-5)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3z-5)^2.\)