Теория: Понятие степени числа

В выражении \(\displaystyle 1{,}05^2\cdot 33^3\cdot 1{,}9^2\) показатель степени у числа \(\displaystyle 1{,}05\) равен \(\displaystyle 2\), у числа \(\displaystyle 33\) равен \(\displaystyle 3\), а у \(\displaystyle 1{,}9\) равен \(\displaystyle 2\).

Поэтому в произведении число \(\displaystyle 1{,}05\) должно встретиться \(\displaystyle 2\) раза, число \(\displaystyle 33\) должно встретиться \(\displaystyle 3\) раза и число \(\displaystyle 1{,}9\) должно встретиться \(\displaystyle 2\) раза.

Проверим каждый из вариантов ответа:

1. В выражении \(\displaystyle 1{,}05\cdot 33\cdot 1{,}05\cdot 1{,}05\cdot 1{,}9 \cdot 33\cdot 1{,}9\cdot 33\)
   \(\displaystyle 1{,}05\) повторяется \(\displaystyle {\color{blue}3}\) раза,
   \(\displaystyle 33\) повторяется \(\displaystyle {\color{red}3}\) раза и
   \(\displaystyle 1{,}9\) повторяется \(\displaystyle {\color{green}2}\) раза.
   Значит, \(\displaystyle 1{,}05\cdot 33\cdot 1{,}05\cdot 1{,}05\cdot 1{,}9 \cdot 33\cdot 1{,}9\cdot 33=1{,}05^{\color{blue}3}\cdot 33^{\color{red}3}\cdot 1{,}9^{\color{green}2}\) – неправильный ответ, так как число \(\displaystyle 1{,}05\) встретилось \(\displaystyle 3\), а не \(\displaystyle 2\) раза;
    
2. В выражении \(\displaystyle 1{,}9\cdot 33\cdot 33\cdot 1{,}9\cdot 1{,}05\cdot 33 \cdot 1{,}05\)
   \(\displaystyle 1{,}05\) повторяется \(\displaystyle {\color{blue}2}\) раза,
   \(\displaystyle 33\) повторяется \(\displaystyle {\color{red}3}\) раза и
   \(\displaystyle 1{,}9\) повторяется \(\displaystyle {\color{green}2}\) раза.
   Значит, \(\displaystyle 1{,}9\cdot 33\cdot 33\cdot 1{,}9\cdot 1{,}05\cdot 33 \cdot 1{,}05=1{,}05^{\color{blue}2}\cdot 33^{\color{red}3}\cdot 1{,}9^{\color{green}2}\) – правильный ответ;
    
3. В выражении \(\displaystyle 1{,}05\cdot 33\cdot 1{,}9 \cdot 1{,}9\cdot 1{,}05\cdot 33\)
   \(\displaystyle 1{,}05\) повторяется \(\displaystyle {\color{blue}2}\) раза,
   \(\displaystyle 33\) повторяется \(\displaystyle {\color{red}2}\) раза и
   \(\displaystyle 1{,}9\) повторяется \(\displaystyle {\color{green}2}\) раза.
   Значит, \(\displaystyle 1{,}05\cdot 33\cdot 1{,}9 \cdot 1{,}9\cdot 1{,}05\cdot 33=1{,}05^{\color{blue}2}\cdot 33^{\color{red}2}\cdot 1{,}9^{\color{green}2}\) – неправильный ответ, так как число \(\displaystyle 33\) встретилось \(\displaystyle 2\), а не \(\displaystyle 3\) раза;
    
4. В выражении \(\displaystyle 33\cdot 1{,}05\cdot 33\cdot 1{,}9 \cdot 33\cdot 33\cdot 1{,}05\cdot 1{,}9\)
   \(\displaystyle 1{,}05\) повторяется \(\displaystyle {\color{blue}2}\) раза,
   \(\displaystyle 33\) повторяется \(\displaystyle {\color{red}4}\) раза и
   \(\displaystyle 1{,}9\) повторяется \(\displaystyle {\color{green}2}\) раза.
   Значит, \(\displaystyle 33\cdot 1{,}05\cdot 33\cdot 1{,}9 \cdot 33\cdot 33\cdot 1{,}05\cdot 1{,}9=1{,}05^{\color{blue}2}\cdot 33^{\color{red}4} \cdot 1{,}9^{\color{green}2}\) – неправильный ответ, так как число \(\displaystyle 33\) встретилось \(\displaystyle 4\), а не \(\displaystyle 3\) раза.
   
    

Ответ:  \(\displaystyle 1{,}9\cdot 33\cdot 33\cdot 1{,}9\cdot 1{,}05\cdot 33 \cdot 1{,}05\).