Skip to main content

Теория: Разложение на множители - 2 (*дополнительный раздел)

Задание

Разложите на множители:
 

18ab+3ac-24b^{\,2}-4bc=\big(\big)\big(\big)

Решение

Сначала выберем параметр, который встречается в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет параметр a. Сгруппируем все члены с данным параметром в одни скобки, а остальные – в другие:

18\color{red}{a}b+3\color{red}{a}c-24b^{\,2}-4bc=(18\color{red}{a}b+3\color{red}{a}c\,)+(-24b^{\,2}-4bc\,).

Найдем общий множитель для выражения в первых скобках (18ab+3ac\,) (которое, как мы решили, содержит параметр a).

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов 18 и 3 равен 3.
  2. Общий параметр у выражений ab и ac –  это параметр a.

Значит, общий множитель для 18ab+3ac равен 3a. Вынося его за скобки, имеем:

18ab+3ac=3a\,(6b+c\,).

Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках (-24b^{\,2}-4bc\,).

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов 24 и 4 равен 4.
  2. Общий параметр у выражений b^{\,2} и bc –  это параметр b.

Значит, общий множитель для -24b^{\,2}-4bc равен 4b. Вынося его за скобки, имеем:

-24b^{\,2}-4bc=4b\,(-6b-c\,).

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

(18ab+3ac\,)+(-24b^{\,2}-4bc\,)= 3a\,(6b+c\,)+4b\,(-6b-c\,).

 

Заметим, что множители (6b+c\,) и (-6b-c\,) отличаются только знаком, то есть

(-6b-c\,)=-(6b+c\,).

Поэтому заменим множитель (-6b-c\,) на -(6b+c\,):

\begin{array}{l}
3a\,(6b+c\,)+4b\,\color{red}{(-6b-c\,)}= \\[10px]
\kern{5em} =3a\,(6b+c\,)+4b\,\color{red}{\Big(-(6b+c\,)\Big)}= \\[10px]
\kern{10em} =3a\,(6b+c\,)-4b\,(6b+c\,).
\end{array}

 

Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель (6b+c\,). Значит, его также можно вынести за скобки:

3a\,\color{blue}{(6b+c\,)}-4b\,\color{blue}{(6b+c\,)}=\color{blue}{(6b+c\,)} (3a-4b\,).

Таким образом,

18ab+3ac-24b^{\,2}-4bc=(6b+c\,) (3a-4b\,).

Ответ: (6b+c\,) (3a-4b\,).