Разложите на множители:
\(\displaystyle 12au-10bu^{\,2}+18wa-15buw=\big(\)\(\displaystyle \big)\big(\)\(\displaystyle \big)\)
Сначала выберем произвольный параметр, который встречается в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет параметр \(\displaystyle a.\) Сгруппируем все члены с данным параметром в одни скобки, а остальные – в другие:
\(\displaystyle 12\color{red}{a}u-10bu^{\,2}+18w\color{red}{a}-15buw=(12\color{red}{a}u+18w\color{red}{a}\,)+(-10bu^{\,2}-15buw\,).\)
Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (12au+18wa\,)\) (которое, как мы решили, содержит параметр \(\displaystyle a\)).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 18\) равен \(\displaystyle 6.\)
- Общий параметр у выражений \(\displaystyle au\) и \(\displaystyle wa\) – это параметр \(\displaystyle a.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle 12au+18wa\) равен \(\displaystyle 6a.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 12au+18wa=6a\,(2u+3w\,).\)
Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-10bu^{\,2}-15buw\,)\).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle 15\) равен \(\displaystyle 5.\)
- Общие параметры у выражений \(\displaystyle bu^{\,2}\) и \(\displaystyle buw\) – это параметры \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle u.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle -10bu^{\,2}-15buw\) равен \(\displaystyle 5bu.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle -10bu^{\,2}-15buw=5bu\,(-2u-3w\,).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (12au+18wa\,)+(-10bu^{\,2}-15buw\,)= 6a\,(2u+3w\,)+5bu\,(-2u-3w\,).\)
Заметим, что множители \(\displaystyle (2u+3w\,)\) и \(\displaystyle (-2u-3w\,)\) отличаются только знаком, то есть
\(\displaystyle (-2u-3w\,)=-(2u+3w\,).\)
Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-2u-3w\,)\) на \(\displaystyle -(2u+3w\,)\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}6a\,(2u+3w\,)+5bu\,\color{red}{(-2u-3w\,)}= \\[10px]\kern{5em} =6a\,(2u+3w\,)+5bu\,\color{red}{\Big(-(2u+3w\,)\Big)}= \\[10px]\kern{10em} =6a\,(2u+3w\,)-5bu\,(2u+3w\,).\end{array}\)
Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (2u+3w\,).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle 6a\,\color{blue}{(2u+3w\,)}-5bu\,\color{blue}{(2u+3w\,)}=\color{blue}{(2u+3w\,)} (6a-5bu\,).\)
Таким образом,
\(\displaystyle 12au-10bu^{\,2}+18wa-15buw=(2u+3w\,) (6a-5bu\,).\)
Ответ: \(\displaystyle (2u+3w\,) (6a-5bu\,).\)