Skip to main content

Теория: Нахождение суммы кубов

Задание

Найдите произведение выражений, используя формулу "сумма кубов":
 

(u+w\,)(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})={\bf u^{\,3}+w^{\,3}}


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.

Решение

Правило

Сумма кубов

Для любых чисел a, b верно

a^{\,3}+b^{\,3}=(a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})

Перепишем формулу "сумма кубов" в обратном порядке:

(a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})=a^{\,3}+b^{\,3}.

 

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\begin{align}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a+b\,)}}\\
\color{blue}{(u+w\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\
\color{green}{(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{l}
=a^{\,3}+b^{\,3},\\
=\,?
\end{array}
\end{align}

Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\begin{align}
\color{blue}{(u+w\,)}&=\color{blue}{(a+b\,)},\\
\color{green}{(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}.
\end{align}

Данные равенства верны при a=u и b=w. Следовательно,

\begin{align}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a+b\,)}}\\
{\small |\;|}\\
\color{blue}{(u+w\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\
{\small |\;|}\\
\color{green}{(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{c}
=\\
\phantom{=}\\
=
\end{array}
\begin{array}{c}
\color{red}{a^{\,3}+b^{\,3}},\\
{\small |\;|}\\
\color{red}{u^{\,3}+w^{\,3}}
\end{array}
\end{align}

 

Таким образом,

(u+w\,)(u^{\, 2}-uw+w^{\,2})=u^{\,3}+w^{\,3}.

Ответ: {\bf u}^{\,3}+{\bf w}^{\,3}.
 

Замечание / комментарий

Неполный квадрат разности

Выражение

a^{\,2}-ab+b^{\,2}

называется неполным квадратом разности параметров a и b.