Найдите произведение выражений, используя формулу "сумма кубов":
Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.
Числа запишите без степени, то есть, например, вместо \(\displaystyle 2^3\) следует вводить \(\displaystyle 8.\)
Сумма кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}+b^{\,3}=(a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})\)
Перепишем формулу "сумма кубов" в обратном порядке:
\(\displaystyle (a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})=a^{\,3}+b^{\,3}.\)
Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ \color{blue}{(7d+5k\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(49d^{\,2}-35dk+25k^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}+b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)
Заметим, что поскольку \(\displaystyle 49d^{\,2}=7^2d^{\,2}=(7d\,)^2\) и \(\displaystyle 25k^{\,2}=5^2k^{\,2}=(5k\,)^2,\) то можно записать:
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ \color{blue}{(7d+5k\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{((7d\,)^2-35dk+(5k\,)^2)} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}+b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)
Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(7d+5k\,)}&=\color{blue}{(a+b\,)},\\ \color{green}{((7d\,)^2-35dk+(5k\,)^2)}&=\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)
Данные равенства верны при \(\displaystyle a=7d\) и \(\displaystyle b=5k.\) Cледовательно,
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a+b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(7d+5k\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{((7d\,)^2-35dk+(5k\,)^2)} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}+b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{(7d\,)^3+(5k\,)^3}. \end{array} \end{aligned}\)
И, поскольку \(\displaystyle (7d\,)^3=7^3d^{\,3}=343d^{\,3}\) и \(\displaystyle (5k\,)^3=5^3k^{\,3}=125k^{\,3},\) то
\(\displaystyle (7d\,)^3+(5k\,)^3=343d^{\,3}+125k^{\,3}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (7d+5k\,)(49d^{\,2}-35dk+25k^{\,2})=343d^{\,3}+125k^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle 343d^{\,3}+125k^{\,3}.\)
Неполный квадрат разности
Выражение\(\displaystyle a^{\,2}-ab+b^{\,2}\)
называется неполным квадратом разности параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)