Skip to main content

Теория: Нахождение разности кубов

Задание

Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":
 

(u-w\,)(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})={\bf u^3-w^3}


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.

Решение

Правило

Разность кубов

Для любых чисел a, b верно

a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.

 

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\begin{align}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a-b\,)}}\\
\color{blue}{(u-w\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\
\color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{l}
=a^{\,3}-b^{\,3},\\
=\,?
\end{array}
\end{align}

Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\begin{align}
\color{blue}{(u-w\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\
\color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.
\end{align}

Данные равенства верны при a=u и b=w. Следовательно,

\begin{align}
\begin{array}{c}
{\color{blue}{(a-b\,)}}\\
{\small |\;|}\\
\color{blue}{(u-w\,)}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\
{\small |\;|}\\
\color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})}
\end{array}
\begin{array}{c}
=\\
\phantom{=}\\
=
\end{array}
\begin{array}{c}
\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\
{\small |\;|}\\
\color{red}{u^{\,3}-w^{\,3}}
\end{array}
\end{align}

 

Таким образом,

(u-w\,)(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})=u^{\,3}-w^{\,3}.

Ответ: {\bf u}^{\,3}-{\bf w}^{\,3}.
 

Замечание / комментарий

Неполный квадрат суммы

Выражение

a^{\,2}+ab+b^{\,2}

называется неполным квадратом суммы параметров a и b.