Skip to main content

Теория: Нахождение разности кубов

Задание

Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":
 

\(\displaystyle (u-w\,)(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})={\bf u^3-w^3}\)


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.

Решение

Правило

Разность кубов

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

 

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(u-w\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(u-w\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\ \color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=u\) и \(\displaystyle b=w.\) Следовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(u-w\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{u^{\,3}-w^{\,3}} \end{array} \end{aligned}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle (u-w\,)(u^{\, 2}+uw+w^{\,2})=u^{\,3}-w^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf u}^{\,3}-{\bf w}^{\,3}.\)
 

Замечание / комментарий

Неполный квадрат суммы

Выражение

\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)

называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)