Skip to main content

Теория: Нахождение разности кубов

Задание

Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":
 

\(\displaystyle (7s-t\,)(49s^{\,2}+7st+t^{\,2})={\bf 343s^{\,3}-t^{\,3}}\)


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.
Числа запишите без степени, то есть, например, вместо \(\displaystyle 2^3\) следует вводить \(\displaystyle 8.\)

Решение

Правило

Разность кубов

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

 

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(7s-t\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(49s^{\,2}+7st+t^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 49s^{\,2}=7^2s^{\,2}=(7s\,)^2,\) то можно записать:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(7s-t\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{((7s\,)^2+7st+t^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(7s-t\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\ \color{green}{((7s\,)^2+7st+t^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=7s\) и \(\displaystyle b=t.\) Cледовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(7s-t\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{((7s\,)^2+7st+t^{\,2})} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{(7s\,)^3-t^{\,3}}. \end{array} \end{aligned}\)

И, поскольку \(\displaystyle (7s\,)^3=7^3s^{\,3}=343s^{\,3},\) то

\(\displaystyle (7s\,)^3-t^{\,3}=343s^{\,3}-t^{\,3}.\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle (7s-t\,)(49s^{\,2}+7st+t^{\,2})=343s^{\,3}-t^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle 343s^{\,3}-t^{\,3}.\)
 

Замечание / комментарий

Неполный квадрат суммы

Выражение

\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)

называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)