Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":
Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.
Числа запишите без степени, то есть, например, вместо \(\displaystyle 2^3\) следует вводить \(\displaystyle 8.\)
Разность кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)
Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:
\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)
Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(7s-t\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(49s^{\,2}+7st+t^{\,2})}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)
Заметим, что поскольку \(\displaystyle 49s^{\,2}=7^2s^{\,2}=(7s\,)^2,\) то можно записать:
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(7s-t\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{((7s\,)^2+7st+t^{\,2})}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)
Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(7s-t\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\\color{green}{((7s\,)^2+7st+t^{\,2})}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.\end{aligned}\)
Данные равенства верны при \(\displaystyle a=7s\) и \(\displaystyle b=t.\) Cледовательно,
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\{\small |\;|}\\\color{blue}{(7s-t\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\{\small |\;|}\\\color{green}{((7s\,)^2+7st+t^{\,2})}\end{array}\begin{array}{c}=\\\phantom{=}\\=\end{array}\begin{array}{c}\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\{\small |\;|}\\\color{red}{(7s\,)^3-t^{\,3}}.\end{array}\end{aligned}\)
И, поскольку \(\displaystyle (7s\,)^3=7^3s^{\,3}=343s^{\,3},\) то
\(\displaystyle (7s\,)^3-t^{\,3}=343s^{\,3}-t^{\,3}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (7s-t\,)(49s^{\,2}+7st+t^{\,2})=343s^{\,3}-t^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle 343s^{\,3}-t^{\,3}.\)
Неполный квадрат суммы
Выражение\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)
называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)