Skip to main content

Теория: Разложение на множители (продолжение) (*дополнительный раздел)

Задание

Разложите на множители:
 

15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-5z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}+2=\big(
5z^5-2
\big)\big(
3x^2y^3-1
\big)
Решение

Сначала выберем произвольную переменную, которая встречается в точности в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет переменная x {\small .} Сгруппируем все члены с данной переменной в одни скобки, а остальные – в другие:

15\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}z^{\,5}-5z^{\,5}-6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}+2=(15\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3}z^{\,5}-6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,3})+(-5z^{\,5}+2) {\small .}

Найдем общий множитель для выражения в первых скобках (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}) (которое, как мы решили, содержит переменную x).

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен НОД(15,6)=3 {\small .}
  2. Выберем общие переменные у выражений x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5} и x^{\,2}y^{\,3} с наименьшим показателем степени, –  это x^{\,2} и y^{\,3} {\small .}

Значит, общий множитель для (15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}) равен 3x^{\,2}y^{\,3} {\small .} Вынося его за скобки, имеем:

15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}=3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2) {\small .}

Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках (-5z^{\,5}+2) {\small .}

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен НОД(5,2)=1.
  2. Очевидно, что первое слагаемое в скобке содержит степень переменной z^{\,5}{\small ,} а второе вообще не содержит переменной. Соответственно, общей переменной у выражений в скобках нет.

Значит, общий множитель для (-5z^{\,5}+2) равен 1 {\small .} Следовательно, за скобки мы ничего не выносим и

-5z^{\,5}+2=(-5z^{\,5}+2){\small .}

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

(15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3})+(-5z^{\,5}+2)= 3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+(-5z^{\,5}+2) {\small .}

Заметим, что множители (5z^{\,5}-2) и (-5z^{\,5}+2) отличаются только знаком, то есть

(-5z^{\,5}+2)=-(5z^{\,5}-2) {\small .}

Поэтому заменим множитель (-5z^{\,5}+2) на -(5z^{\,5}-2):

\begin{array}{l}
3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+\color{red}{(-5z^{\,5}+2)}= \\[10px]
\kern{6em} =3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)+\,\color{red}{\Big(-(5z^{\,5}-2)\Big)}= \\[10px]
\kern{12em} =3x^{\,2}y^{\,3}\,(5z^{\,5}-2)-\,(5z^{\,5}-2) {\small .}
\end{array}

Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель (5z^{\,5}-2) {\small .} Значит, его также можно вынести за скобки:

3x^{\,2}y^{\,3}\,\color{blue}{(5z^{\,5}-2)}-\color{blue}{(5z^{\,5}-2)}=\color{blue}{(5z^{\,5}-2)} (3x^{\,2}y^{\,3}-1) {\small .}

Таким образом,

15x^{\,2}y^{\,3}z^{\,5}-5z^{\,5}-6x^{\,2}y^{\,3}+2=({\bf 5}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}-{\bf 2})({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 2}}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}-{\bf 1}) {\small .}

Ответ: (5z^{\,5}-2)(3x^{\,2}y^{\,3}-1) {\small .}