Разложите на множители:
Сначала выберем произвольную переменную, которая встречается в точности в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет переменная \(\displaystyle x {\small .}\) Сгруппируем все члены с данной переменной в одни скобки, а остальные – в другие:
\(\displaystyle 14\color{red}{x^{\,3}}z^{\,4}-7y^{\,2}z^{\,4}+8\color{red}{x^{\,3}}y-4y^{\,3}=(14\color{red}{x^{\,3}}z^{\,4}+8\color{red}{x^{\,3}}y\,)+(-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3}) {\small .}\)
Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y\,)\) (которое, как мы решили, содержит переменную \(\displaystyle x\)).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(14,8)=2 {\small .}\)
- Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,3}z^{\,4}\) и \(\displaystyle x^{\,3}y\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle x^{\,3} {\small .}\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle (14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y\,)\) равен \(\displaystyle 2x^{\,3} {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y=2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,) {\small .}\)
Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3}) {\small .}\)
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(7,4)=1{\small .}\)
- Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle y^{\,2}z^{\,4}\) и \(\displaystyle y^{\,3}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle y^{\,2} {\small .}\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle (-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3})\) равен \(\displaystyle y^{\,2} {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle -7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3}=y^{\,2}(-7z^{\,4}-4y\,){\small .}\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (14x^{\,3}z^{\,4}+8x^{\,3}y\,)+(-7y^{\,2}z^{\,4}-4y^{\,3})= 2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)+y^{\,2}(-7z^{\,4}-4y\,) {\small .}\)
Заметим, что множители \(\displaystyle (7z^{\,4}+4y\,)\) и \(\displaystyle (-7z^{\,4}-4y\,)\) отличаются только знаком, то есть
\(\displaystyle (-7z^{\,4}-4y\,)=-(7z^{\,4}+4y\,) {\small .}\)
Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-7z^{\,4}-4y\,)\) на \(\displaystyle -(7z^{\,4}+4y\,)\):
\(\displaystyle \begin{array}{l} 2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)+y^{\,2}\,\color{red}{(-7z^{\,4}-4y\,)}= \\[10px] \kern{5em} =2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)+y^{\,2}\,\color{red}{\Big(-(7z^{\,4}+4y\,)\Big)}= \\[10px] \kern{10em} =2x^{\,3}\,(7z^{\,4}+4y\,)-y^{\,2}\,(7z^{\,4}+4y\,) {\small .} \end{array}\)
Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (7z^{\,4}+4y\,) {\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:
\(\displaystyle 2x^{\,3}\,\color{blue}{(7z^{\,4}+4y\,)}-y^{\,2}\,\color{blue}{(7z^{\,4}+4y\,)}=\color{blue}{(7z^{\,4}+4y\,)} (2x^{\,3}-y^{\,2}) {\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 14x^{\,3}z^{\,4}-7y^{\,2}z^{\,4}+8x^{\,3}y-4y^{\,3}=({\bf 7}{\pmb z}^{\,{\bf 4}}+{\bf 4}{\pmb y}\,)({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}-{\pmb y}^{\,{\bf 2}}) {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle (7z^{\,4}+4y\,)(2x^{\,3}-y^{\,2}) {\small .}\)