Skip to main content

Теория: Выделение полного квадрата

Задание

Дополните квадратное уравнение справа и слева одной и той же дробью так, чтобы слева получился полный квадрат:

\(\displaystyle x^2-2\cdot \frac{7}{2}x=-3\)

\(\displaystyle x^2-2\cdot \frac{7}{2}x\,+\)
\frac{49}{4}
\(\displaystyle =-3\,+\)
\frac{49}{4}


Запишите получившееся равносильное квадратное уравнение:

\(\displaystyle \big(x\)
\frac{7}{2}
\(\displaystyle \big)^2=\)
\frac{37}{4}
Решение

Правило

Квадрат разности

Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно

\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

В выражении \(\displaystyle x^2-2\cdot \frac{7}{2}x\) уже выделено удвоенное произведение.

Сравним формулу полного квадрата и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=\frac{7}{2}{\small , }\) и к нижнему выражению нужно добавить \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\left(\color{green}{\frac{7}{2}}\right)^2=\color{green}{\frac{49}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности.

Тогда дополним равенство

\(\displaystyle x^2-2\cdot \frac{7}{2}x=-3\)

с обеих сторон числом \(\displaystyle \color{green}{\frac{49}{4}}{\small :}\)

\(\displaystyle x^2-2\cdot \frac{7}{2}x+\color{green}{\frac{49}{4}}=-3+\color{green}{\frac{49}{4}}{\small .}\)

Сворачивая выражение слева, получаем

\(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{37}{4}{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{37}{4}{\small .}\)