Skip to main content

Теория: Теория решений квадратных уравнений

Задание

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

\(\displaystyle aX^2+bX+c=0{\small .}\)

Правило

Дискриминант \(\displaystyle \color{red}{\rm D}=b^2-4ac{\small .}\)

\(\displaystyle X_{1}=\frac{-b+\sqrt{\color{red}{\rm D}}}{2a}{\small ,}\) 

\(\displaystyle X_{2}=\frac{-b-\sqrt{\color{red}{\rm D}}}{2a}{\small .}\)

Решение

Поделим квадратное уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\) на ненулевой коэффицент \(\displaystyle a{\small .}\) Получаем

\(\displaystyle X^2+\frac{b}{a}X+\frac{c}{a}=0{\small .}\)

Пусть \(\displaystyle \tilde{b}=\frac{b}{a}\) и \(\displaystyle \tilde{c}=\frac{c}{a}{\small .}\) Тогда, согласно формуле для приведенного квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+\tilde{b}x+\tilde{c}=0{\small ,}\)

\(\displaystyle X_{1,2}=\frac{-\tilde{b}\pm\sqrt{\tilde{b}^2-4\tilde{c}}}{2}{ \small ,}\)

подставляя вместо \(\displaystyle \tilde{b}=\frac{b}{a}\) и \(\displaystyle \tilde{c}=\frac{c}{a}{\small ,}\) получаем

\(\displaystyle \begin{aligned}X_{1,2}&=\frac{-\frac{b}{a}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{a} \right)^2-4\frac{c}{a}}}{2}=\frac{-\frac{b}{a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2} }}{2}=\\[5pt]&=\frac{-\frac{b}{a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} }{2}=\frac{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{a} }{2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{aligned}\)

 

Выражение \(\displaystyle b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через \(\displaystyle \rm D{\small .}\)

Правило

Таким образом,

\(\displaystyle X_{1}=\frac{-b+\sqrt{\color{red}{\rm D}}}{2a}{\small ,}\) 

\(\displaystyle X_{2}=\frac{-b-\sqrt{\color{red}{\rm D}}}{2a}{\small ,}\)

где  \(\displaystyle \color{red}{\rm D}=b^2-4ac\) – дискриминант квадратного уравнения.