\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке в размере \(\displaystyle 800\) тысяч рублей на \(\displaystyle n+1\) месяц. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle n+1\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Сумма долга на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца составляет \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.
Общая сумма выплат после оплаты кредита составляет \(\displaystyle 1240\) тысяч рублей.
Найдите \(\displaystyle n\).
\(\displaystyle n=\) месяцев.
Обозначим за \(\displaystyle m\) сумму, на которую уменьшается долг на 10-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.
Разберем, как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\%\), то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{8}{100}\cdot 800=1{,}08\cdot 800{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle m\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-m\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-m\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0{,}08\cdot 800{\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle m\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle m\) тысяч рублей:
\(\displaystyle 0{,}08 \cdot 800+m{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle m\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle 800\) | |||
| \(\displaystyle 1\) |
\(\displaystyle 800-m\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08\cdot 800}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08 \cdot 800}+m\) |
| \(\displaystyle 2\) |
\(\displaystyle 800-2\cdot m\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-m)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-m)}+m\) |
| \(\displaystyle 3\) |
\(\displaystyle 800-3\cdot m\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-2\cdot m)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-2\cdot m)}+m\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle n\) |
\(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-(n-1)\cdot m)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-(n-1)\cdot m)}+m\) |
Из таблицы получаем, что долг на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}{\small .}\)
С другой стороны, по условию задачи долг на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца равен \(\displaystyle 200\) тысяч рублей. Следовательно,
\(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}=200{\small .}\)
Мы получили первое уравнение на \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle m{\small :}\) \(\displaystyle 800-n\cdot m=200{\small .}\)
Продолжим таблицу.
В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть выплатить всю сумму:
- долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m} {\small ; }\)
- проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-n\cdot m)}{\small . }\)
Поэтому общая выплата в последней месяц равна
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-n\cdot m)}+\color{green}{800-n\cdot m}{\small .}\)
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle n\) |
\(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-(n-1)\cdot m)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-(n-1)\cdot m)}+m\) |
| \(\displaystyle n+1\) |
\(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-n\cdot m)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-n\cdot m)}+\color{green}{800-n\cdot m}\) |
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{0{,}08\cdot 800}+m+\color{blue}{0{,}08(800-m)}+m+\color{blue}{0{,}08(800-2\cdot m)}+m+\ldots\\[5px]\ldots+\color{blue}{0{,}08(800-(n-1)\cdot m)}+m\,+\color{blue}{0{,}08(800-n\cdot m)}+\color{green}{800-n\cdot m}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}0{,}08\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{m}+0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{m})+\color{green}{m}+ 0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot m})+\color{green}{m}+\ldots\\[5px]\ldots+0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{(n-1)\cdot m})+\color{green}{m}\,+0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{n\cdot m})+800-n\cdot m {\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{array}{c} \color{green}{\overbrace{m+m+m+\ldots+m}^{n\, раз}}\,+0{,}08(\color{blue}{\overbrace{800+800+800+\ldots+800+800}^{(n+1) \, раз}}\,)-\\[5px]-0{,}08\cdot \color{red}{m}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{(n-1)}+\color{red}{n})+800-n\cdot m {\small .}\end{array}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{(n-1)}+\color{red}{n}=\color{red}{\frac{(1+n)}{2}\cdot n}{\small .}\)
Так как общая сумма выплат после погашения кредита равна \(\displaystyle 1240\) тысяч рублей, то
\(\displaystyle \color{green}{n\cdot m}+0{,}08\cdot \color{blue}{(n+1)\cdot 800}-0{,}08\cdot \color{red}{m}\cdot \color{red}{\frac{(1+n)}{2}\cdot n}+800-n\cdot m=1240{\small .}\)
Упростим полученное уравнение:
\(\displaystyle 0{,}08\cdot \color{blue}{(n+1)\cdot 800}-0{,}08\cdot \color{red}{m}\cdot\color{red}{\frac{(1+n)}{2}\cdot n}+800=1240{\small .}\)
Тогда можно записать систему двух уравнений от двух неизвестных \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle m{\small .}\)
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}800-n\cdot m&=&200,\\[5px]0{,}08\cdot (n+1)\cdot 800-0{,}08\cdot m\cdot\dfrac{(1+n)}{2}\cdot n+800&=&1240.\end{array}\right.\)
Решим систему
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}800-n\cdot m&=&200{\small , }\\0{,}08\cdot (n+1)\cdot 800-0{,}08\cdot m\cdot \dfrac{(1+n)}{2}\cdot n+800&=&1240{\small . }\end{array}\right.\)
Для этого выразим \(\displaystyle n\) через из \(\displaystyle m\) из первого уравнения:
\(\displaystyle m=\frac{800-200}{n}{\small , }\)
\(\displaystyle m=\frac{600}{n}{\small , }\)
и подставим его во второе:
\(\displaystyle 0{,}08\cdot (n+1)\cdot 800-0{,}08\cdot {\bf \frac{600}{n} }\cdot\frac{(1+n)}{2}\cdot n+800=1240{\small .}\)
Преобразуем уравнение:
\(\displaystyle 0{,}08\cdot (n+1)\cdot 800-0{,}08\cdot 600 \cdot\frac{(1+n)}{2}+800=1240{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle n\) из полученного линейного уравнения:
\(\displaystyle \left(0{,}08\cdot 800-0{,}08\cdot 600 \frac{1}{2}\right)n=1240-0{,}08\cdot 800+0{,}08\cdot 600\cdot \frac{1}{2}-800{\small ,}\)
\(\displaystyle 40n=400{\small ,}\)
\(\displaystyle n=\frac{400}{40}{\small ,}\)
\(\displaystyle n=10{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle n=10{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 10{\small .}\)