Skip to main content

Теория: Деление дробей

Задание

Найти частное дробей (в ответе записать несократимую дробь):

 

\(\displaystyle \frac{15}{21}:\frac{35}{42}\,=\)
 

 

Решение

Правило

Для того чтобы поделить на дробь, надо умножить на обратную ей дробь, то есть надо:

1) перевернуть дробь (поменять местами числитель и знаменатель);

2) умножить на полученную дробь.

Найдем

 

\(\displaystyle \frac{15}{21}: \frac{35}{42}.\)

1) \(\displaystyle \frac{35}{42} \rightarrow \frac{42}{35};\)

2) \(\displaystyle \frac{15}{21}: \frac{35}{42}=\frac{15}{21}\cdot \frac{42}{35}=\frac{15\cdot 42}{21\cdot 35}=\frac{630}{735}.\)

 

Сократим частное \(\displaystyle \frac{630}{735}\), если это сократимая дробь.

Для этого найдем \(\displaystyle НОД(630, 735)\) (см. тему "НОД и разложение на простые множители" или "НОД и алгоритм Евклида").

Разложим \(\displaystyle 630\) и \(\displaystyle 735\) на простые множители:

 

\(\displaystyle 630=15\cdot 42=3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 6=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 \),

\(\displaystyle 735=21\cdot 35=3\cdot 7\cdot 5\cdot 7=3\cdot 5\cdot 7^2\).

Тогда

\(\displaystyle НОД(630, 735)=НОД(2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7, 3\cdot 5\cdot 7^2)=3\cdot 5\cdot 7=105 \)

 

Поделим  числитель и знаменатель дроби \(\displaystyle \displaystyle\frac{630}{735}\) на \(\displaystyle НОД(630, 735)=105\):

 

\(\displaystyle \frac{630}{735}=\frac{630:105}{735:105}=\frac{6}{7}\).

 

Ответ: \(\displaystyle \displaystyle\frac{6}{7}\).

 

Замечание / комментарий

Найдем несократимую дробь, равную частному дробей \(\displaystyle \frac{15}{21} : \frac{35}{42}\), раскладывая каждое число на простые множители:

\(\displaystyle 15=3\cdot 5\);

\(\displaystyle 21=3\cdot 7\);

\(\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7\);

\(\displaystyle 35=5\cdot 7\).

 

\(\displaystyle \frac{15}{21} : \frac{35}{42}=\frac{15}{21}\cdot \frac{42}{35} = \frac{15\cdot 42}{21\cdot 35} = \frac{3\cdot 5\cdot 2\cdot 3 \cdot 7}{ 3\cdot 7\cdot 5 \cdot 7} = \frac{{\not 3}\cdot {\not5}\cdot 2\cdot 3 \cdot {\not7}}{{\not3}\cdot {\not7}\cdot {\not5} \cdot 7} = \frac{2\cdot 3}{7} = \frac{6}{7}\).