Skip to main content

Теория: Формулы приведения

Задание

Сопоставьте правильное выражение:

\(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Каждое из выражений

\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \sin\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right),\, \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right),\)

\(\displaystyle \sin\left(\pi\pm \alpha\right),\, \cos\left(\pi\pm \alpha\right), \, \sin\left(\alpha-\pi \right),\, \cos\left(\alpha-\pi\right)\)

равно либо \(\displaystyle \pm\sin\alpha{ \small ,}\) либо \(\displaystyle \pm\cos\alpha{\small .}\)

  • Если в формуле участвует  \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) или   \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} { \small ,}\) то синус меняется на косинус, а косинус меняется на синус, иначе функция не меняется.
  • Знак синуса и косинуса определяется по знаку исходного выражения, при условии, что угол \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}{\small .}\)

Так как в выражении \(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)\) участвует \(\displaystyle \pi{ \small ,}\) то функция не меняется, то есть

\(\displaystyle {\bf \cos}(\pi+\alpha)=\,?\,{\bf \cos}\,\alpha{\small .}\)

 

Далее определим, какой знак должен стоять перед косинусом.

Всегда можно считать, что угол \(\displaystyle \alpha\) располагается в первой четверти тригонометрического круга:

Тогда угол \(\displaystyle \pi+\alpha\) – это угол, полученный добавлением угла \(\displaystyle \alpha \) к углу \(\displaystyle \pi{\small :}\)

(на рисунке зеленый и красный углы составляют \(\displaystyle \pi+\alpha\)).

Определим знак исходного выражения, то есть знак \(\displaystyle \cos(\pi+\alpha){ \small :}\)

Знак минус. Значит,

\(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=\color{red}{-}\cos{\alpha}\)

или

\(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=-\cos{\alpha}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=-\cos{\alpha}{\small .}\)

Формулы приведения и косинус суммы

Используем формулу косинуса суммы.

Для двух углов \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) верно

\(\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=\cos\pi\cdot \cos\alpha-\sin\pi\cdot \sin\alpha{ \small .}\)

Так как \(\displaystyle \cos\pi=-1\) и  \(\displaystyle \sin\pi=0{ \small ,}\) то получаем:

\(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=-1\cdot \cos\alpha-0\cdot \sin\alpha{ \small ,}\)

\(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \cos(\pi+\alpha)=-\cos{\alpha}{\small .}\)