Skip to main content

Теория: Онлайн-урок по 17 задаче (оптимизация)

Задание

На строительство новой гостиницы потратили \(\displaystyle 128\) млн. рублей. Затраты на обслуживание \(\displaystyle x\) тыс. постояльцев в гостинице равны \(\displaystyle x^2-2x-7\) млн. рублей в год. Если аренда \(\displaystyle p \) тыс. рублей за постояльца, то прибыль гостиницы (в млн. рублей) за один год составит \(\displaystyle px-(x^2-2x-7){\small .}\) Когда гостиница будет построена, то будет сдавать места в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении \(\displaystyle p \) строительство гостиницы окупится не более чем за \(\displaystyle 8\) лет?

\(\displaystyle p=\)

Решение

Приведем подобные слагаемые в функции прибыли, которую мы обозначим за \(\displaystyle f(x){\small : }\)

\(\displaystyle f(x)=\color{blue}{p}x-(x^2-\color{blue}{2}x-7){ \small ,}\)

\(\displaystyle f(x)=\color{blue}{p}x-x^2+\color{blue}{2}x+7{ \small ,}\)

\(\displaystyle f(x)=-x^2+(\color{blue}{p}+\color{blue}{2})x+7{\small .}\)

Получаем, что \(\displaystyle f(x)=-x^2+(p+2)x+7{\small .}\) График функции прибыли – это парабола с ветвями вниз. Значит, вершина параболы является точкой максимума функции. Ее координата \(\displaystyle x_{\text{вершина}}\) равна

\(\displaystyle x_{\text{вершина}}=\frac{-(p+2)}{-2}=\frac{p+2}{2}{\small .}\)

Найдем максимальное зачение функции прибыли за год, то есть найдем значение функии \(\displaystyle f(x)\) в точке \(\displaystyle x=\frac{p+2}{2}{\small :}\)

\(\displaystyle f\left(\frac{p+2}{2}\right)=-\left(\frac{p+2}{2}\right)^2+(p+2)\cdot \frac{p+2}{2}+7{\small .}\)

Преобразуем левую часть:

\(\displaystyle -\left(\frac{p+2}{2}\right)^2+(p+2)\cdot \frac{p+2}{2}+7=-\frac{(p+2)^2}{4}+\frac{(p+2)^2}{2}+7=\frac{(p+2)^2}{4}+7{\small .}\)

Таким образом, максимальную прибыль за один год можно выразить через стоимость аренды \(\displaystyle p{\small :}\)

\(\displaystyle f\left(\frac{p+2}{2}\right)=\frac{(p+2)^2}{4}+7{\small .}\)

Нас спрашивают, при каком наименьшем значении \(\displaystyle p \) строительство гостиницы окупится не более чем за \(\displaystyle 8\) лет. То есть при каком минимальном значении \(\displaystyle p\) верно неравенство

\(\displaystyle 8 \cdot \left(\frac{(p+2)^2}{4}+7\right) \ge 128{\small .}\)

Решим полученное квадратичное неравенство относительно \(\displaystyle p{\small :}\)

\(\displaystyle 8 \cdot \left(\frac{(p+2)^2}{4}+7\right) \ge 128{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{(p+2)^2}{4}+7\ge 16{ \small ,}\)

\(\displaystyle (p+2)^2+28-64\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle (p+2)^2-36\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle (p+2+6)(p+2-6)\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle (p+8)(p-4)\ge 0{\small .}\)

Откуда \(\displaystyle p\le -8\) или \(\displaystyle p\ge 4{\small .}\) Так как стоимость аренды – величина неотрицательная, то \(\displaystyle p\le -8\) не имеет смысла. Остается \(\displaystyle p\ge 4{\small .}\) Минимальное значение \(\displaystyle p\) при условии, что \(\displaystyle p\ge 4{ \small ,}\) – это \(\displaystyle p=4{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle p=4{\small .}\)