Skip to main content

Теория: Онлайн-урок по 17 задаче (оптимизация)

Задание

В двух областях работают по \(\displaystyle 20\) рабочих, каждый из которых готов трудиться по \(\displaystyle 10\) часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за один час добывает \(\displaystyle 0{,}1\) кг алюминия или \(\displaystyle 0{,}1\) кг никеля. Во второй области для добычи \(\displaystyle x \) кг алюминия требуется \(\displaystyle x^2 \) человеко-часов труда, для добычи \(\displaystyle y \) кг никеля требуется \(\displaystyle y^2 \) человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где производят сплав алюминия и никеля, в котором на \(\displaystyle 3\) кг алюминия приходится \(\displaystyle 1\) кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу так, чтобы  завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет произвести завод?

кг

Решение

Пусть \(\displaystyle u \) рабочих добывают алюминий в первой области, тогда \(\displaystyle 20-u\) добывают никель в первой области.

Тогда в первой области добывают:

  • \(\displaystyle \color{blue}{u\cdot 0{,}1} \) кг алюминия за один час и \(\displaystyle \color{blue}{10\cdot u\cdot 0{,}1} \) кг алюминия за \(\displaystyle 10\) часов.
  • \(\displaystyle \color{green}{(20-u)\cdot 0{,}1} \) кг никеля за один час, а за \(\displaystyle 10 \) часов добывают \(\displaystyle \color{green}{10\cdot (20-u)\cdot 0{,}1} \) кг никеля.

Пусть \(\displaystyle w \) рабочих добывают алюминий во второй области, тогда \(\displaystyle 20-w\) добывают никель во второй области.

Тогда во второй области будут использованы:

  • \(\displaystyle \color{blue}{w\cdot 10} \) человеко-часов труда для добычи алюминия,
  • \(\displaystyle \color{green}{(20-w)\cdot 10} \) человеко-часов труда для добычи никеля.


Замечание / комментарий

По условию задачи, для добычи \(\displaystyle \color{blue}{ x} \) кг алюминия требуется \(\displaystyle \color{blue}{ x^2} \) человеко-часов труда

или

при затрате \(\displaystyle \color{blue}{ x} \) человеко-часов труда будет произведено \(\displaystyle \color{blue}{ \sqrt{x}} \) кг алюминия.

Так как было затрачено \(\displaystyle \color{blue}{w\cdot 10} \) человеко-часов труда на добычу алюминия, то будет произведено \(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{w\cdot 10}} \) кг алюминия.


Замечание / комментарий

По условию задачи, для добычи \(\displaystyle \color{green}{ y} \) кг никеля требуется \(\displaystyle \color{green}{ y^2} \) человеко-часов труда

или

при затрате \(\displaystyle \color{green}{ y} \) человеко-часов труда будет произведено \(\displaystyle \color{green}{ \sqrt{y}} \) кг никеля.

Так как было затрачено \(\displaystyle \color{green}{(20-w)\cdot 10} \) человеко-часов труда на добычу никеля, то будет произведено \(\displaystyle \color{green}{\sqrt{(20-w)\cdot 10}} \) кг никеля.

 

Таким образом, за \(\displaystyle 10 \) часов будет произведено:

  • \(\displaystyle \color{blue}{10\cdot u\cdot 0{,}1} + \color{blue}{\sqrt{w\cdot 10}} \) кг алюминия,
  • \(\displaystyle \color{green}{10\cdot (20-u)\cdot 0{,}1} + \color{green}{\sqrt{(20-w)\cdot 10}} \) кг никеля.

 

Для производства сплава на каждые три единицы алюминия надо одну единицу никеля, и, следовательно,

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{10\cdot u\cdot 0{,}1} + \color{blue}{\sqrt{w\cdot 10}}}{\color{green}{10\cdot (20-u)\cdot 0{,}1} + \color{green}{\sqrt{(20-w)\cdot 10}}}=\frac{3}{1}.\)

Выражение \(\displaystyle u \) через \(\displaystyle w \)

С другой стороны, всего будет произведено

\(\displaystyle f = \color{blue}{10\cdot u\cdot 0{,}1} + \color{blue}{\sqrt{w\cdot 10}} + \color{green}{10\cdot (20-u)\cdot 0{,}1} + \color{green}{\sqrt{(20-w)\cdot 10}} \) килограмм сплава.

Упростим:

\(\displaystyle f = 20 + \sqrt{w\cdot 10} + \sqrt{(20-w)\cdot 10} \) килограмм сплава.

Нам необходимо найти максимум функции \(\displaystyle f(x)=20+\sqrt{x\cdot 10}+\sqrt{(20-x)\cdot 10} .\)

Найдем производную:

\(\displaystyle (f(x))^{\prime}=(20+\sqrt{x\cdot 10}+\sqrt{(20-x)\cdot 10})^{\prime}=(\sqrt{x\cdot 10})^{\prime}+\sqrt{200-10x})^{\prime} .\)

Далее используем правило.

Правило

Производная от корня квадратного

\(\displaystyle \left(\sqrt{kx+b}\right)^{\prime}=\frac{k}{2\sqrt{kx+b}}\)

Получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{x\cdot 10})^{\prime}=\frac{10}{\sqrt{10x}}.\)

\(\displaystyle (\sqrt{200-10x})^{\prime}=\frac{-10}{\sqrt{200-10x}}.\)

 Тогда

\(\displaystyle (f(x))^{\prime}=(\sqrt{10x})^{\prime}-\sqrt{200-10x})^{\prime}=\frac{10}{\sqrt{10x}}- \frac{10}{\sqrt{200-10x}},\)

\(\displaystyle (f(x))^{\prime}=\frac{\sqrt{200-10x}-\sqrt{10x}}{\sqrt{10x}\cdot \sqrt{200-10x} }.\)

Найдем, где производная числителя или знаменателя равна нулю.

Числитель равен нулю

\(\displaystyle \sqrt{200-10x}-\sqrt{10x}=0\), решение \(\displaystyle x=10.\)

\(\displaystyle \sqrt{200-10x}-\sqrt{10x}=0,\)

\(\displaystyle \sqrt{200-10x}=\sqrt{10x},\)

возведем обе части в квадрат,

\(\displaystyle 200-10x=10x,\)

\(\displaystyle 20x=200,\)

\(\displaystyle x=10.\)

или знаменатель равен нулю.

\(\displaystyle \sqrt{10x}\cdot \sqrt{200-10x}=0,\) решение \(\displaystyle x=0 \) и \(\displaystyle x=20 \)

\(\displaystyle \sqrt{10x}\cdot \sqrt{200-10x}=0,\)

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю,

\(\displaystyle \sqrt{10x}=0\) или  \(\displaystyle \sqrt{200-10x}=0,\)

возводим каждое уравнение в квадрат,

\(\displaystyle 10x=0\) или  \(\displaystyle 200-10x=0,\)

\(\displaystyle x=0\) или  \(\displaystyle x=20.\)

Мы получили три возможных варианта:

\(\displaystyle x=10,\, x=0, \, x=20.\)

Так как область определения функции \(\displaystyle f(x)=20+\sqrt{x\cdot 10}+\sqrt{(20-x)\cdot 10} \) – отрезок \(\displaystyle [0;\, 20],\) то при любом  расположении интервалов возрастания и убывания точка максимума будет на концах отрезка или в критических точках.

 

Найдем значение функции \(\displaystyle f(x) = 20 + \sqrt{10x} + \sqrt{200-10x}\) в каждой из этих точек:
 

\(\displaystyle f(10) = 20 + \sqrt{10\cdot 10} + \sqrt{200-10\cdot 10}= 20 + \sqrt{100} + \sqrt{100}=20+10+10=40;\)

\(\displaystyle f(0) = 200 + \sqrt{10\cdot 0} + \sqrt{200-10\cdot 0}= 20 + \sqrt{0} + \sqrt{200}=20+\sqrt{200}<40;\)

\(\displaystyle f(20) = 200 + \sqrt{10\cdot 20} + \sqrt{200-10\cdot 20}= 20 + \sqrt{200} + \sqrt{0}=20+\sqrt{200}<40.\)


Таким образом, \(\displaystyle 40\) кг – это наибольшее количество сплава, который может произвести завод.

Ответ:\(\displaystyle 40\) кг.