Skip to main content

Теория: Онлайн-урок по 17 задаче (оптимизация)

Задание

На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно \(\displaystyle t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(\displaystyle t\) единиц товаров. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, платится \(\displaystyle 500\) рублей, во втором – \(\displaystyle 300\) рублей. Выделяется  \(\displaystyle 1 200 000\) рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Какое наибольшее количество единиц товаров можно произвести за неделю на этих двух заводах?

единиц

Решение

Пусть в первом городе трудятся суммарно \(\displaystyle x \) часов в неделю. Тогда будет произведено \(\displaystyle \sqrt{x} \) единиц товаров. Оплата труда при этом составит \(\displaystyle 500\cdot x \) рублей.

Пусть во втором городе трудятся суммарно \(\displaystyle y\) часов в неделю. Тогда будет произведено \(\displaystyle \sqrt{y} \) единиц товаров. Оплата труда при этом составит \(\displaystyle 500\cdot y\) рублей.

Поскольку всего на оплату труда выделено \(\displaystyle 1200000 \) рублей, то

\(\displaystyle 500x+300y=1200000{\small .} \)

При этом за неделю на обоих заводах будет произведено

\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} \) единиц товара.

Нам нужно найти максимальное значение \(\displaystyle f(x,y){\small .} \)

Из \(\displaystyle 500x+300y=1200000 \) получаем, что

\(\displaystyle y=4000-\frac{5}{3}x{\small .} \)

Подставляя в \(\displaystyle f(x,y){ \small ,} \) получаем:

\(\displaystyle f(x, 4000-\frac{5}{3}x)= \sqrt{x}+\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}{\small .} \)

Найдем точку максимума функции

\(\displaystyle f(x)= \sqrt{x}+\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}{\small .}\)

Запишем область определения:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x\ge 0{ \small ,}\\4000-\frac{5}{3}x \ge 0{\small ; } \end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x\ge 0{ \small ,}\\x \le 2400{\small . } \end{aligned}\right.\)

Найдем производную функции \(\displaystyle f(x){\small : } \)

\(\displaystyle f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{5}{3\cdot 2\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}}{ \small ,} \)

\(\displaystyle f'(x)= \frac{3\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}-5\sqrt{x}}{3\cdot 2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{4000-\frac{5}{3}x}}{ \small .} \)

Найдем критические точки (там, где числитель или знаменатель обращаются в ноль):
 

1.

\(\displaystyle 3\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}-5\sqrt{x}=0 {\small ; }\)

\(\displaystyle 3\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}=5\sqrt{x} {\small ; }\)

\(\displaystyle 9\left(4000-\frac{5}{3}x\right)=25x{\small ; }\)

\(\displaystyle 9\cdot 4000-15x=25x{\small ; }\)

\(\displaystyle 40x=9\cdot 4000{\small ; } \)

\(\displaystyle x=900{\small .} \)

2.

\(\displaystyle \sqrt{x}=0{\small ; } \)

\(\displaystyle x=0{\small .} \)

3.

\(\displaystyle \sqrt{4000-\frac{5}{3}x}=0{\small ; } \)

\(\displaystyle \frac{5}{3}x=4000{\small ; } \)

\(\displaystyle x=2400{\small .} \)


Найдем промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x){\small : } \)

Проверим знаки.

\(\displaystyle f'(1)>0\)

\(\displaystyle f'(1200)<0\)

Значит, \(\displaystyle x=900 \) – точка максимума. Следовательно, рабочие на первом работе должны работать \(\displaystyle 900 \) часов.

Тогда рабочие на втором заводе должны отработать

\(\displaystyle y=4000-\frac{5}{3}x{ \small ,} \)

\(\displaystyle y=4000-\frac{5}{3}\cdot 900=4000-5\cdot 300=2500\) часов.

Таким образом, наибольшее количество единиц товаров, которое может быть произведено за неделю, равно

\(\displaystyle \sqrt{900}+\sqrt{2500}=30+50=80 \)  единиц.


Ответ: \(\displaystyle 80 \) единиц.