Skip to main content

Теория: 03 Квадратичные неравенства, являющиеся произведением линейных

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle (x+10)(x-14)>0{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle (x+10)(x-14)>0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b >0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b>0\) – оба числа положительны,
  • либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b<0\) – оба числа отрицательны.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+10)(x-14)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x+10>0{ \small ,}\, x-14>0\) – оба множителя положительны;
  • либо \(\displaystyle x+10<0{ \small ,}\, x-14<0\) – оба множителя отрицательны.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&>0{ \small ,}\\x-14 &> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&< 0{ \small ,}\\x-14& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>-10{ \small ,}\\x&> 14\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -10{ \small ,}\\x& < 14{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>-10{ \small ,}\\ x &>14 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>-10\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Неравенство \(\displaystyle x>14\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle -10\) и больше \(\displaystyle 14{\small :}\)

  

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (14;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<-10{ \small ,}\\ x &<14{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< -10\) соответствует множеству точек на прямой:



Неравенство \(\displaystyle x<14\) соответствует множеству точек на прямой:



Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle -10\) и меньше \(\displaystyle 14{\small :}\)



Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-10){\small .} \)

 


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (14;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-10) \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-10)\cup (14;+\infty){\small .} \)