Skip to main content

Теория: 03 Решение квадратного неравенства через произведение

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle 6(x+57)(x-34)\le 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Упростим данное неравенство \(\displaystyle 6(x+57)(x-34)\le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle 6{\small :} \)

\(\displaystyle \color{blue}{ 6}(x+57)(x-34)\le 0 \,| :\color{blue}{ 6}\)

\(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0{\small .} \)


Запишем неравенство \(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \le 0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\le 0\) – первое число неотрицательно, второе неположительно;
  • либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – первое число неположительно, второе неотрицательно.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x+57\ge 0{ \small ,}\, x-34\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный;
  • либо \(\displaystyle x+57\le 0{ \small ,}\, x-34\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+57&\ge 0{ \small ,}\\x-34 &\le 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+57&\le 0{ \small ,}\\x-34& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -57{ \small ,}\\x&\le 34\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -57{ \small ,}\\x& \ge 34{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge -57{ \small ,}\\ x &\le 34{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\ge -57\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Неравенство \(\displaystyle x\le 34\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle -57\) и меньше либо
равна \(\displaystyle 34{\small :}\)

  

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in [-57;34]{\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\le -57{ \small ,}\\ x &\ge 34{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\le -57\) соответствует множеству точек на прямой:



Неравенство \(\displaystyle x\ge 34\) соответствует множеству точек на прямой:



Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше либо равна \(\displaystyle -57\) и больше либо равна \(\displaystyle 34{\small :}\)



Так как в пересечении общих точек нет, то система неравенств решений не имеет.

Значит, множество решений пусто.

 


Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in [-57;34]{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in [-57;34]{\small .} \)