Skip to main content

Теория: 03 Решение квадратного неравенства через произведение

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle (x+2)(x-1)>0{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle (x+2)(x-1)>0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b >0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b>0\) – оба числа положительны,
  • либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b<0\) – оба числа отрицательны.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+2)(x-1)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x+2>0{ \small ,}\, x-1>0\) – оба множителя положительны;
  • либо \(\displaystyle x+2<0{ \small ,}\, x-1<0\) – оба множителя отрицательны.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+2&>0{ \small ,}\\x-1 &> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+2&< 0{ \small ,}\\x-1& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>-2{ \small ,}\\x&> 1\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -2{ \small ,}\\x& < 1{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>-2{ \small ,}\\ x &>1 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>-2\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x>1\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle -2\) и больше \(\displaystyle 1{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (1;+\infty){\small .} \)

 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<-2{ \small ,}\\ x &<1{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< -2\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x<1\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle -2\) и меньше \(\displaystyle 1{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-2){\small .} \)


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (1;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-2) \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-2)\cup (1;+\infty){\small .} \)