Теория: 07 Биквадратные неравенства

Представим \(\displaystyle x^4\) как \(\displaystyle (x^2)^2\) в многочлене \(\displaystyle x^4+8x^2{\small : } \)

\(\displaystyle x^4+8x^2= (\color{blue}{ x^2})^2+8\color{blue}{ x^2}{\small .} \)

Сделаем замену \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small .} \) Получаем многочлен второй степени:

\(\displaystyle t^2+8t{\small .} \)

Решим квадратичное неравенство \(\displaystyle t^2+8t \le 0{\small .} \)

Перепишем неравенство \(\displaystyle -8 \le t\le 0\) в виде системы неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le 0{ \small ,}\\t&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)

Сделаем обратную замену \(\displaystyle t=x^2{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2&\le 0{ \small ,}\\x^2&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)

Поскольку \(\displaystyle x^2\ge -8\) верно для всех чисел \(\displaystyle x{ \small ,}\) то остается решить первое неравенство \(\displaystyle x^2\le 0{\small .}\)

Поскольку квадрат числа – всегда число неотрицательное, то

\(\displaystyle x^2\ge 0 \) для любого числа \(\displaystyle x{\small .}\)

Это можно переписать, что для любого числа \(\displaystyle x\) либо \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) либо \(\displaystyle x^2=0{ \small .}\)

Рассмотрим каждый случай:

• те \(\displaystyle x {\small ,}\) для которых \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) не являются решениями неравенства \(\displaystyle x^2\le 0{ \small ;}\)
• те \(\displaystyle x{ \small ,}\) для которых \(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\)  являются решениями неравенства \(\displaystyle x^2\le 0{ \small .}\)

Решим уравнение \(\displaystyle x^2=0{ \small :}\)

\(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=0{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in \{0\}{\small .} \)