Skip to main content

Теория: 07 Биквадратные неравенства

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle x^4+65x^2+64 > 0\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Представим \(\displaystyle x^4\) как \(\displaystyle (x^2)^2\) в биквадратном трехчлене \(\displaystyle x^4+65x^2+64{\small : } \)

\(\displaystyle x^4+65x^2+64= (\color{blue}{ x^2})^2+65\color{blue}{ x^2}+64{\small .} \)

Сделаем замену \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small .} \) Получаем многочлен второй степени:

\(\displaystyle t^2+65t+64{\small .} \)

Найдем его корни и разложим на множители.

\(\displaystyle t^2+65t+64=(t+1)(t+64) \)


Получили неравенство \(\displaystyle (t+1)(t+64)>0{\small .} \) Решим это неравенство.

Неравенство \(\displaystyle (t+1)(t+64)>0 \) имеет решения \(\displaystyle t<-64 \) или \(\displaystyle t>-1\)


Поскольку \(\displaystyle t=x^2{ \small ,} \) то, возвращаясь к переменной \(\displaystyle x{ \small ,} \) получаем объединение неравенств

\(\displaystyle x^2<-64\) или \(\displaystyle x^2>-1{\small .} \)

Решим эти неравенства.

Неравенство \(\displaystyle x^2<-64\) не имеет решений, то есть \(\displaystyle x\in \{\varnothing\} \)

Неравенство \(\displaystyle x^2>-1\) имеет решения \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty) \)


Объединим решения неравенств \(\displaystyle x^2<-64\) и \(\displaystyle x^2>-1{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle x\in \{\varnothing\} \) или \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)

Объединяя, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)