Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{(\sqrt {6} + \sqrt {10})^2}{40 + 5\sqrt{60}}=\)
Раскроем скобки в числителе, применив формулу квадрата суммы:
\(\displaystyle \frac{(\sqrt {6} + \sqrt {10})^2}{40 + 5\sqrt{60}}=\frac{(\sqrt {6})^2+2\cdot\sqrt {6}\cdot\sqrt {10}+(\sqrt {10})^2}{40 + 5\sqrt{60}}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle (\sqrt{6})^2=6\), \(\displaystyle (\sqrt{10})^2=10\), а произведение двух корней одной степени равно корню из произведения их подкоренных выражений, то
\(\displaystyle \frac{(\sqrt {6})^2+2\cdot\sqrt {6}\cdot\sqrt {10}+(\sqrt {10})^2}{40 + 5\sqrt{60}}=\frac{6+2\sqrt {6\cdot10}+10}{40 + 5\sqrt{60}}=\frac{16+2\sqrt {60}}{40 + 5\sqrt{60}}{\small.}\)
Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знаменатель на множители. Вынося в числителе общий множитель \(\displaystyle 2{\small,}\) а в знаменателе \(\displaystyle 5{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{16+2\sqrt {60}}{40 + \sqrt{60}}=\frac{2\cdot(8+\sqrt {60})}{ 5\cdot(8 + \sqrt{60})}{\small.}\)
Теперь можно сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:
\(\displaystyle \frac{2\cdot \cancel{(8+\sqrt {60})}}{5\cdot(\cancel{8 + \sqrt{60})}}=\frac{2}{5}=0{,}4{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{(\sqrt {6} + \sqrt {10})^2}{40 + 5\sqrt{60}}&=\frac{(\sqrt {6})^2+2\cdot\sqrt {6}\cdot\sqrt {10}+(\sqrt {10})^2}{40 + 5\sqrt{60}}=\\[5px]&=\frac{6+2\sqrt {6\cdot10}+10}{40 + 5\sqrt{60}}=\frac{16+2\sqrt {60}}{40 + 5\sqrt{60}}=\frac{2\cdot(8+\sqrt {60})}{5\cdot(8 + \sqrt{60})}=\frac{2}{5}=0{,}4{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}4 {\small.} \)