Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\)
Решение 1.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби и заменим деление умножением на обратное число:
\(\displaystyle\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}{\small.}\)
Разложим числа \(\displaystyle 192{ \small ,}\) \(\displaystyle 108\) и \(\displaystyle 320\) в числителях дробей на множители так, чтобы корень одного из множителей был целым числом. Затем вынесем множители из-под корня:
\(\displaystyle\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\left(\sqrt{\frac {64\cdot3}{5}} - \sqrt{\frac {36\cdot3}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {64\cdot5}{3}}=\)
\(\displaystyle=\left(8\sqrt{\frac {3}{5}} - 6\sqrt{\frac {3}{5}}\right) \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}} {\small.}\)
В скобках вычитаются одинаковые корни – выполним это действие, а затем оставшееся умножение:
\(\displaystyle\left(8\sqrt{\frac {3}{5}} - 6\sqrt{\frac {3}{5}}\right) \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=2\sqrt{\frac {3}{5}} \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=16 \sqrt{\frac {3}{5} \cdot \frac {5}{3}}=16\sqrt{1}=16{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\\=\left(8\sqrt{\frac {3}{5}} - 6\sqrt{\frac {3}{5}}\right) \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=2\sqrt{\frac {3}{5}} \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=16\sqrt{1}=16{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 16 {\small.} \)
Решение 2.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби и заменим деление умножением на обратное число:
\(\displaystyle\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}{\small.}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\sqrt{\frac {192}{5}} \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}- \sqrt{\frac {108}{5}}\cdot \sqrt{\frac {320}{3}}{\small.}\)
Произведение двух корней одной степени равно корню из произведения их подкоренных выражений.
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\sqrt{\frac {192}{5}} \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}- \sqrt{\frac {108}{5}}\cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\sqrt{\frac {192\cdot320}{5\cdot3}} - \sqrt{\frac {108\cdot320}{5\cdot3}}=\\[10px]=\sqrt{4096}- \sqrt{2304}=64-48=16{\small.}\end{aligned}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\\=\sqrt{\frac {192\cdot320}{5\cdot3}} - \sqrt{\frac {108\cdot320}{5\cdot3}}=\sqrt{4096}- \sqrt{2304}=64-48=16{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 16 {\small.} \)