Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(\displaystyle U = U_0 \sin (\omega t + \varphi ){ \small ,}\) где \(\displaystyle t\) – время в секундах, амплитуда \(\displaystyle U_0 = 2\)В, частота \(\displaystyle \omega = 120^\circ/\text{c}{ \small ,}\) фаза \(\displaystyle \varphi = -30^\circ{\small .}\) Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем \(\displaystyle 1\) В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
В задаче требуется выяснить, какую часть времени в процентах из первой секунды горит лампочка.
Лампочка горит при напряжении \(\displaystyle U\) не ниже чем \(\displaystyle 1\)В.
Значит, надо выяснить, какую долю времени выполнялось неравенство \(\displaystyle U\geq 1\) при \(\displaystyle 0 \leq t \leq 1{\small .}\)
Подставим в формулу для вычисления напряжения \(\displaystyle U =\color{green}{U_0} \sin (\color{magenta}{\omega}t +\color{blue}{\varphi })\) известные величины \(\displaystyle \color{green}{U_0} = \color{green}{2}{ \small ,}\) \(\displaystyle \color{magenta}{\omega }=\color{magenta}{120}^\circ/\text{c}{ \small ,}\) \(\displaystyle \color{blue}{\varphi} =\color{blue}{-30}^\circ{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle U =\color{green}{2}\sin (\color{magenta}{120}^\circ t +(\color{blue}{-30}^\circ)){ \small ,}\)
\(\displaystyle U =2\sin (120^\circ t -30^\circ){\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle U\geq 1{ \small ,}\) получаем ограничение
\(\displaystyle 2\sin (120^\circ t -30^\circ)\geq 1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \sin (120^\circ t -30^\circ)\geq \frac{1}{2} {\small .}\)
Сделаем замену \(\displaystyle \alpha= 120^\circ t -30^\circ {\small .}\) Получаем неравенство\(\displaystyle \sin \alpha \geq \frac{1}{2} {\small .}\)
Решим поэтапно получившееся неравенство:
- Сначала найдем ограничения на \(\displaystyle \alpha\) при \(\displaystyle 0 \leq t \leq 1{\small .}\)
- Потом решим неравенство \(\displaystyle \sin \alpha \geq \frac{1}{2}\) при полученных ограничениях на \(\displaystyle \alpha {\small .}\)
- Далее выясним, какие значения принимает \(\displaystyle t \) на множестве решений неравенства \(\displaystyle \sin \alpha \geq \frac{1}{2}{\small .}\)
Получаем:
Таким образом, условие выполняется на протяжении \(\displaystyle 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) секунды. Это составляет \(\displaystyle 50\%\) от первой секунды.
Ответ: \(\displaystyle 50{\small .}\)