Skip to main content

Теория: Тригонометрия (табличные значения, зависимость между функциями одного аргумента)

Задание

Найдите \(\displaystyle 3\cos\alpha,\) если \(\displaystyle \sin \alpha =- \frac{2\sqrt{2}}{3} \) и \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right){\small.}\)

\(\displaystyle 3\cos \alpha=\)

Решение

Вспомним основное тригонометрическое тождество.

Правило

\(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) 

Зная синус, нужно найти косинус.
Выразим синус через косинус из основного тригонометрического тождества.
Получаем:

\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha{\small.}\)

Подставим заданное по условию значение \(\displaystyle \sin \alpha =- \frac{2\sqrt{2}}{3} {:}\)

\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-\bigg(- \frac{2\sqrt{2}}{3} \bigg)^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}{\small.}\)

Если \(\displaystyle \cos^2\alpha=\frac{1}{9},\) то

\(\displaystyle \cos\alpha=\pm \sqrt{ \frac{1}{9}}{\small,}\)

\(\displaystyle \cos\alpha=\pm \frac{1}{3}{\small.}\)


Определим, какой знак имеет \(\displaystyle \cos\alpha{\small.}\)

По условию \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right){\small.}\)

В четвертой четверти значение косинуса положительно. Следовательно,

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{1}{3}{\small.}\)

Тогда,

\(\displaystyle 3\cos \alpha=3 \cdot \frac{1}{3}=1{\small.}\)


Ответ:\(\displaystyle 1{\small.}\)