Skip to main content

Теория: 03 Производная сложной функции

Задание

Известно, что \(\displaystyle f(g(x))=\sin(5x+3){\small .}\) Найдите:

\(\displaystyle f(x)=\)
\sin(x)
\(\displaystyle g(x)=\)
5x+3

При вводе ответа аргумент тригонометрической функции запишите в скобках.

Причем

  • \(\displaystyle f \) табличная функция;
  • \(\displaystyle g \) табличная функция или многочлен с целыми коэффициентами.
Решение

Подберем \(\displaystyle f(x)\) так, чтобы она была в таблице производных.

Запишем слева функции из таблицы производных, а справа функцию, данную по условию:

\(\displaystyle x^n \)\(\displaystyle \sin(5x+3) \)
\(\displaystyle a^x \)
\(\displaystyle e^x \)
\(\displaystyle \sin(x) \)
\(\displaystyle \cos(x)\)
\(\displaystyle \log_a (x) \)
\(\displaystyle \ln(x) \)
\(\displaystyle \tg(x) \)
\(\displaystyle \ctg(x) \)


Поскольку функция \(\displaystyle \sin(5x+3)\) является синусом от некоторого выражения, то слева берем также функцию \(\displaystyle \sin(x){\small.}\) То есть

\(\displaystyle f(x)=\sin(x){\small .} \)

Теперь, чтобы получить из \(\displaystyle \sin(x)\) функцию \(\displaystyle \sin(5x+3){\small,}\) необходимо вместо \(\displaystyle x\) подставить \(\displaystyle {5x+3}{\small .}\) То есть:

\(\displaystyle f(x)=\sin(x)\) и \(\displaystyle g(x)=5x+3{ \small ,}\)

\(\displaystyle f(g(x))=\sin(5x+3){\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle f(x)=\sin(x)\) и \(\displaystyle g(x)=5x+3{\small.}\)