Skip to main content

Теория: 03 Производная сложной функции

Задание

Найдите производную:

\(\displaystyle ((-7x+3)^{5})^{\prime}=\)
-35(-7x+3)^{4}
Решение

Обозначим \(\displaystyle f(g(x))=(-7x+3)^{5}{\small .}\)

Воспользуемся формулой.

Правило

Производная сложной функции

\(\displaystyle \left(f({g(x)})\right)^{\prime}=\color{red}{f^{\prime}(g)}\cdot g^{\prime}(x){\small.}\)

Найдем производную функции \(\displaystyle f(g(x)) \) по этому правилу, используя алгоритм:

Алгоритм

  1. Подберем такие функции \(\displaystyle { f(x)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ g(x)}{\small,}\) что
    \(\displaystyle f(x)\) – функция из таблицы производных и \(\displaystyle f(\color{blue}{ g(x)})\) – исходная функция.
  1. Найдем \(\displaystyle \color{red}{f^{\prime}(g)}{\small:} \)
  • Найдем производную функции \(\displaystyle f(x){ \small ,} \) то есть \(\displaystyle (f(x))^{\prime}{\small.}\)
  • Подставим в \(\displaystyle (f(x))^{\prime}\) вместо \(\displaystyle x\) функцию \(\displaystyle g(x)\) – это будет функция \(\displaystyle \color{red}{ f^{\prime}(g)}{\small.}\)
  1. Запишем результат:
    \(\displaystyle (f(g(x)))^{\prime}= \color{red}{ f^{\prime}(g)} \cdot ( \color{blue}{ g(x)})^{\prime}{\small.}\)

1) Подберем такие функции \(\displaystyle { f(x)}\) и \(\displaystyle { \color{blue}{ g(x)}}{\small,}\) что

\(\displaystyle f(x)\) – функция из таблицы производных и \(\displaystyle f(\color{blue}{ g(x)})=(-7x+3)^{5}{\small.}\)

\(\displaystyle f(x)=x^{5}\) и \(\displaystyle \color{blue}{g(x)=-7x+3}{\small.}\)

2) Найдем \(\displaystyle \color{red}{f^{\prime}(g)}{\small.} \)

      Вычислим производную \(\displaystyle {f(x)}{\small:}\)

\(\displaystyle (f(x))^{\prime}=(x^{5})^{\prime}=5x^4{\small.}\)

      Подставляя в \(\displaystyle (f(x))^{\prime}=5x^4\) вместо \(\displaystyle x\) выражение \(\displaystyle {{g(x)}={-7x+3}}{\small,}\) получаем:

\(\displaystyle \color{red}{f^{\prime}({g})=5(-7x+3)^{4}}{\small.}\)

3) Записываем результат:

\(\displaystyle ((-7x+3)^{5})^{\prime}=\color{red}{5(-7x+3)^{4}}\cdot{(\color{blue}{-7x+3})^{\prime}}{\small.}\)


Для получения ответа остается найти \(\displaystyle (-7x+3)^{\prime}{\small:}\)

\(\displaystyle (-7x+3)^{\prime}=(-7x)^{\prime}+(3)^{\prime}=-7\cdot(x)^{\prime}+(3)^{\prime}=-7\cdot1+0=-7{\small.}\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 5(-7x+3)^{4}\cdot{(-7x+3)^{\prime}}=5(-7x+3)^{4}\cdot(-7)=-35(-7x+3)^{4}{\small.}\)


Таким образом, получаем:

\(\displaystyle((-7x+3)^{5})^{\prime}={5(-7x+3)^{4}}\cdot({-7x+3})^{\prime}=-35(-7x+3)^{4}{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle -35(-7x+3)^{4}{\small.}\)