Skip to main content

Теория: Тригонометрия (формулы приведения) (в режиме наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{3\cos(\pi - \beta) + \sin(\frac{\pi}{2} + \beta)} { \cos(\beta + 3\pi)}=\)

Решение

Применим формулы приведения по правилу:

Правило

1) Определяем четверть, предполагая \(\displaystyle \alpha \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right){\small .}\)

2) Определяем знак исходной функции.

3) Определяем, какая функция будет.

Если к углу \(\displaystyle \pm \alpha \) добавляем или вычитаем

  • \(\displaystyle \pm\pi ,\, \pm 2\pi ,\, \pm 3\pi,\, \pm 4\pi,\,\ldots\) (целое число \(\displaystyle \pi\)), то функцию не меняем;
  • \(\displaystyle \pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\pi}{2},\, \pm\frac{7\pi}{2},\, \ldots\) (нечетное число половинок \(\displaystyle \pi\)), то функцию меняем: \(\displaystyle \sin\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \cos\) и \(\displaystyle \tg\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \ctg{\small .}\)

  • \(\displaystyle \cos(\pi - \beta)=-\cos\beta \)

Подробно о применении формулы 

  • \(\displaystyle \sin(\frac{\pi}{2} + \beta)=\cos\beta\)

Подробно о применении формулы 

  • \(\displaystyle \cos(\beta + 3\pi)= \cos(3\pi+\beta)=-\cos\beta\)

Подробно о применении формулы 

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

\(\displaystyle \frac{3\color{blue}{\cos(\pi - \beta)} + \color{green}{\sin(\frac{\pi}{2} + \beta)}} { \color{orange}{\cos(\beta + 3\pi)}}=\frac{3(\color{blue}{-\cos \beta} )+ \color{green}{\cos\beta}} { \color{orange}{-\cos\beta}}=\frac{-3\cos \beta + \cos\beta} { -\cos\beta}{\small .}\)


Упростим дробь:

\(\displaystyle \frac{-3\cos \beta + \cos\beta} { -\cos\beta}=\frac{-2\cos \beta} { -\cos\beta}=2{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 2 {\small.} \)