Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \cos {\frac{15\pi}{4}} \, \sin {\frac{13\pi}{4}}=\)
Применим формулы приведения по правилу:
1) Определяем четверть, предполагая \(\displaystyle \alpha \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right){\small .}\)
2) Определяем знак исходной функции.
3) Определяем, какая функция будет.
Если к углу \(\displaystyle \pm \alpha \) добавляем или вычитаем
- \(\displaystyle \pm\pi ,\, \pm 2\pi ,\, \pm 3\pi,\, \pm 4\pi,\,\ldots\) (целое число \(\displaystyle \pi\)), то функцию не меняем;
- \(\displaystyle \pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\pi}{2},\, \pm\frac{7\pi}{2},\, \ldots\) (нечетное число половинок \(\displaystyle \pi\)), то функцию меняем: \(\displaystyle \sin\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \cos\) и \(\displaystyle \tg\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \ctg{\small .}\)
- \(\displaystyle \cos {\frac{15\pi}{4}}=\cos {\frac{\pi}{4}}{\small.} \)
- \(\displaystyle \sin {\frac{13\pi}{4}}=-\sin {\frac{\pi}{4}}{\small.} \)
Следовательно:
\(\displaystyle \color{blue}{\cos {\frac{15\pi}{4}}} \, \color{green}{\sin {\frac{13\pi}{4}}}=\color{blue}{\cos {\frac{\pi}{4}}} \bigg (\color{green}{-\sin {\frac{\pi}{4}}}\bigg )=-\cos {\frac{\pi}{4}} \sin {\frac{\pi}{4}}{\small.} \)
Подставим табличные значения:
\(\displaystyle -\color{magenta}{\cos {\frac{\pi}{4}}} \color{orange}{\sin {\frac{\pi}{4}}}=-\color{magenta}{\frac {\sqrt 2}{2}} \cdot \color{orange}{\frac {\sqrt 2}{2}}= -\frac {\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{2 \cdot 2} =-\frac {2}{4}=-\frac {1}{2}=-0{,}5{\small.} \)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \cos {\frac{15\pi}{4}} \, \sin {\frac{13\pi}{4}}=\cos {\frac{\pi}{4}} \bigg (-\sin {\frac{\pi}{4}}\bigg )=-\cos {\frac{\pi}{4}} \sin {\frac{\pi}{4}}=-\frac {\sqrt 2}{2} \cdot \frac {\sqrt 2}{2}= -\frac {1}{2}=-0{,}5{\small.} \)
Ответ: \(\displaystyle -0{,}5 {\small.} \)