Skip to main content

Теория: Тригонометрия (формулы приведения) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 207^\circ}=\)

Решение

В данном выражении \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 207^\circ}\) два разных угла.

Найдем между ними взаимосвязь: у них может быть хорошая сумма или хорошая разность (то есть равная \(\displaystyle 90^ \circ,\) \(\displaystyle 180^ \circ,\) \(\displaystyle 270^ \circ,\) \(\displaystyle 360^ \circ\) и т.п.).


В нашем случае у углов хорошая разность: \(\displaystyle 207^ \circ-27^ \circ=\color{blue}{180^ \circ}{\small.}\)

Отсюда: \(\displaystyle \color{blue}{207^ \circ=180^ \circ+27^ \circ} {\small .}\)

Тогда:

 \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 \color{blue}{207^\circ}}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 (\color{blue}{180^\circ+27^\circ})}{\small.}\)


Получилась формула приведения. Применим ее.

Подсказка - алгоритм применения формулы приведения

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle 180^\circ+27^\circ {:}\)

Значит, угол \(\displaystyle 180^\circ+27^\circ \) находится в третьей четверти.


2. Определим знак исходной функции.

В третьей четверти косинус отрицательный (\(\displaystyle {\bf -}\)). 


3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle 27^\circ\) прибавляем \(\displaystyle 180^\circ, \) то функция не меняется

 Значит,             

\(\displaystyle \cos(180^\circ+27^\circ)=-\cos27^\circ{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle \cos^2 (180^\circ+27^\circ)=(\color{blue}{\cos(180^\circ+27^\circ)})^2 =(\color{blue}{-\cos 27^\circ})^2=\cos^2 27^\circ\)


Получаем:

 \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \color{blue}{\cos^2 (180^\circ+27^\circ})}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \color{blue}{\cos^2 27^\circ}}{\small.}\)


Используем формулу

Правило

\(\displaystyle \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1 \)

Получаем:

  \(\displaystyle \frac{12}{ \color{blue}{\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}}=\frac{12}{\color{blue}1}=12{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

  \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 207^\circ}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 (180^\circ+27^\circ)}=\frac{12}{ \sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}=\frac{12}{1}=12{\small.}\)

 
Ответ: \(\displaystyle 12 {\small.} \)