Skip to main content

Теория: 10 Элементарные неравенства с модулем

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle |x|\le 2{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle |x|\le 2\) в виде совокупности двух систем.

По определению

Определение

Модуль

Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

получаем два случая:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Поэтому,

  • если \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle x \le 2{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x\ge 0{ \small ,}\\ x \le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • если \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle -x \le 2{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x< 0{ \small ,}\\ -x \le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)

Значит, неравенство \(\displaystyle |x| \le 2\) эквивалентно совокупности двух систем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le 2 \end{aligned} \right.\)или\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Решим эти две системы.
 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le 2 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\ge 0\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x\le 2\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle 0\) и меньше либо равна \(\displaystyle 2{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решение – \(\displaystyle x\in [0;2]{\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)

Умножим обе части второго неравенства на \(\displaystyle -1{\small : } \)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &\le 2 \,| \cdot(\color{blue}{ -1}) \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &\ge -2{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 0\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x\ge -2\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 0\) и больше либо равна \(\displaystyle -2{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решение – \(\displaystyle x\in [-2;0){\small .} \)


Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in [-2;0)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in [0;2] \)

Объединяя, получаем:

\(\displaystyle x\in [-2;2]{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in [-2;2]{\small .} \)