Skip to main content

Теория: 10 Элементарные неравенства с модулем

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle |x|\le -4{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle |x|\le -4\) в виде совокупноости двух систем.

По определению

Определение

Модуль

Для переменной \(\displaystyle x\) функция модуль \(\displaystyle x{ \small ,}\) обозначаемая \(\displaystyle |x|{ \small ,}\) определена как

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ если } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ если } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

получаем два случая:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) тогда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Поэтому,

  • если \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle x \le -4{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • если \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) то \(\displaystyle -x \le -4{\small .}\) То есть
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 0{ \small ,}\\ -x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)

Значит, неравенство \(\displaystyle |x| \le -4\) эквивалентно совокупности двух систем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le -4 \end{aligned} \right.\)или\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Решим эти две системы.
 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le -4 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\ge 0\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x\le -4\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle 0\) и меньше либо равна \(\displaystyle -4{\small :}\)


Так как в пересечении общих точек нет, то система неравенств решений не имеет.

Значит, множество решений пусто.

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)

Умножим обе части второго неравенства на \(\displaystyle -4{\small : } \)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &\le -4 \,| \cdot (\color{blue}{ -4}) \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &\ge 4{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 0\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x\ge 4\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 0\) и больше либо равна \(\displaystyle 4{\small :}\)


Так как в пересечении общих точек нет, то система неравенств решений не имеет.

Значит, множество решений пусто.


Таким образом, в обоих случая множество решений пусто.


Ответ: \(\displaystyle x\in \{\varnothing\}{\small .} \)

Замечание / комментарий

Решение по определению модуля числа

Так как по определению модуля для любого числа \(\displaystyle x\) верно, что

\(\displaystyle |x| \ge 0{\small ,} \)

то нет ни одного числа, для которого \(\displaystyle |x| <0{\small .}\)

Если  \(\displaystyle |x| \le -4,\) то \(\displaystyle |x| <0,\) так как \(\displaystyle -4<0.\) Но неравенство \(\displaystyle |x| <0\) не имеет решений, следовательно, неравенство \(\displaystyle |x| \le-4\) также не имеет решений.

Другими словами, множество решений неравенства \(\displaystyle |x| \le -4\) пусто.