Теория: Точки и знаки в методе интервалов

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;3)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;3){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;3) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) положительна:

\(\displaystyle f(0)=(0-3)^4(0-5)^6>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;5)\) выберем \(\displaystyle x=4\in (3;5){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (3;5) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) положительна:

\(\displaystyle f(4)=(4-3)^4(4-5)^6>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6\in (5;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) положительна:

\(\displaystyle f(6)=(6-3)^4(6-5)^6>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small :}\)

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^5(x-5)^3}{(x-3)^3}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^5(x-5)^3}{(x-3)^3}\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;3)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;3){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;3) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^5(x-5)^3}{(x-3)^3}\) отрицательна:

\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)^5(0-5)^3}{(0-3)^3}<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;5)\) выберем \(\displaystyle x=4\in (3;5){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (3;5) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^5(x-5)^3}{(x-3)^3}\) отрицательна:

\(\displaystyle f(4)=\frac{(4-3)^5(4-5)^3}{(4-3)^3}<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6\in (5;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^5(x-5)^3}{(x-3)^3}\) положительна:

\(\displaystyle f(6)=\frac{(6-3)^5(6-5)^3}{(6-3)^3}>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small :}\)

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-5)^3}{(x-5)^5}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-5)^3}{(x-5)^5}\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;3)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;3){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;3) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-5)^3}{(x-5)^5}\) отрицательна:

\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)(0-5)^3}{(0-5)^5}<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;5)\) выберем \(\displaystyle x=4\in (3;5){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (3;5) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-5)^3}{(x-5)^5}\) положительна:

\(\displaystyle f(4)=\frac{(4-3)(4-5)^3}{(4-5)^5}>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6\in (5;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-5)^3}{(x-5)^5}\) положительна:

\(\displaystyle f(6)=\frac{(6-3)(6-5)^3}{(6-5)^5}>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small :}\)

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^3(x-5)^2}{(x-3)(x-5)^4}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^3(x-5)^2}{(x-3)(x-5)^4}\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;3)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;3){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;3) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^3(x-5)^2}{(x-3)(x-5)^4}\) положительна:

\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)^3(0-5)^2}{(0-3)(0-5)^4}>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;5)\) выберем \(\displaystyle x=4\in (3;5){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (3;5) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^3(x-5)^2}{(x-3)(x-5)^4}\) положительна:

\(\displaystyle f(4)=\frac{(4-3)^3(4-5)^2}{(4-3)(4-5)^4}>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6\in (5;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^3(x-5)^2}{(x-3)(x-5)^4}\) положительна:

\(\displaystyle f(6)=\frac{(6-3)^3(6-5)^2}{(6-3)(6-5)^4}>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small :}\)