Skip to main content

Теория: Задачи на проценты и обратную пропорцию

Задание

 В \(\displaystyle 10\%\)-й соляной раствор массой \(\displaystyle 500\) граммов добавили \(\displaystyle 4500\) граммов воды. Сколько процентов соли стало в получившемся растворе?

\(\displaystyle \%\)

Решение

Пусть в новом растворе стало \(\displaystyle x\%\) соли. Тогда можно записать следующее соотношение:

 

\(\displaystyle 10\%\) соли             в \(\displaystyle 500\) граммах,
\(\displaystyle x\%\) соли             в \(\displaystyle 500+4500=5000\) граммов.

 

Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – количество граммов раствора и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процентное содержание соли в растворе.

Правило

Признак обратной пропорции для задач с процентами

Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}\), остается постоянной.

Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\).

 

По условию задачи, \(\displaystyle 10\%\) от \(\displaystyle 500\) граммов равно количеству грамм соли в исходном растворе. В свою очередь, \(\displaystyle x\%\) от \(\displaystyle 5000\) граммов тоже равно количеству грамм соли в новом растворе. И поскольку количество грамм соли в растворе не меняется, то, по признаку обратной пропорции, данные величины обратно пропорциональны.

 

Также можно использовать определение обратной пропорции. Данные величины обратно пропорциональны, так как при увеличении общей массы раствора в несколько раз (за счет добавления в него воды) процентная доля соли в нем уменьшается во столько же раз (так как, по условию, масса соли в растворе не изменяется).

Правило

Обратная пропорция

Пусть дана обратная пропорция:

\(\displaystyle a\)               \(\displaystyle b\),

\(\displaystyle c\)               \(\displaystyle d\).

Тогда можно записать следующее равенство:

\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).

Тогда получаем уравнение:

\(\displaystyle 10\cdot 500=x\cdot 5000\);

\(\displaystyle x=\frac{10 \cdot 500}{5000}=1\).

Ответ: \(\displaystyle 1\%\).