Skip to main content

Теория: Задачи на проценты и обратную пропорцию

Задание

В золотой руде, поступившей на обогатительный комбинат, содержится \(\displaystyle 2\%\) золота. После того, как из этой руды удалили некоторое количество пустой горной породы, не содержащей золота, в получившейся обогащенной руде общей массой \(\displaystyle 10\) тонн содержание золота увеличилось до \(\displaystyle 25\%\). Какова была масса исходной руды, поступившей на обогатительный комбинат?

тонн

Решение

Пусть на комбинат изначально поступило \(\displaystyle x\) тонн золотой руды. Запишем соотношение:

 
\(\displaystyle 2\%\) золота             в \(\displaystyle x\) тоннах руды,
\(\displaystyle 25\%\) золота             в \(\displaystyle 10\) тоннах руды.

 

Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – число тонн руды и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процент содержания золота в этой руде.

Правило

Признак обратной пропорции для задач с процентами

Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}\), остается постоянной.

Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\).

 

По условию задачи, \(\displaystyle 2\%\) от \(\displaystyle x\) тонн руды равно количеству тонн золота в исходной руде. В свою очередь, \(\displaystyle 25\%\) от \(\displaystyle 10\) тонн руды тоже равно количеству тонн золота в обогащенной руде. И поскольку количество тонн золота в руде не меняется, то, по признаку обратной пропорции, данные величины обратно пропорциональны.

 

Также можно использовать определение обратной пропорции. Данные величины обратно пропорциональны, так как при уменьшении общей массы руды в несколько раз (за счет удаления из нее пустой породы, не содержащей золота) процентное содержание золота в ней увеличивается во столько же раз (так как, по условию, масса золота в руде не изменяется).

Правило

Обратная пропорция

Пусть дана обратная пропорция:

\(\displaystyle a\)               \(\displaystyle b\),

\(\displaystyle c\)               \(\displaystyle d\).

Тогда можно записать следующее равенство:

\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).

Тогда получаем уравнение:

\(\displaystyle 2\cdot x=25\cdot 10\);

\(\displaystyle x=\frac{25 \cdot10}{2}=125\).

Ответ: \(\displaystyle 125\) тонн.