Skip to main content

Теория: Задачи на проценты и обратную пропорцию

Задание

В парке растут \(\displaystyle 450\) деревьев – липы и каштаны. Затем дополнительно посадили еще \(\displaystyle 150\) каштанов, после чего процент лип в парке составил \(\displaystyle 48\%\). Сколько процентов составляли липы от всех деревьев, которые первоначально росли в парке?

\(\displaystyle \%\)

Решение

Пусть изначально липы составляли \(\displaystyle x\%\) в общем числе деревьев. Запишем соотношение:

 
\(\displaystyle x\%\) лип             \(\displaystyle 450\) деревьев,
\(\displaystyle 48\%\) лип             \(\displaystyle 450+150=600\) деревьев.

 

Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – число всех деревьев и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процент лип в этом числе деревьев.

Правило

Признак обратной пропорции для задач с процентами

Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}\), остается постоянной.

Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\).

 

По условию задачи, \(\displaystyle x\%\) от \(\displaystyle 400\) деревьев равно количеству лип в исходном числе деревьев. В свою очередь, \(\displaystyle 48\%\) от \(\displaystyle 600\) деревьев тоже равно количеству лип в новом числе деревьев. И поскольку количество лип в общем числе деревьев не меняется, то, по признаку обратной пропорции, данные величины обратно пропорциональны.

 

Также можно использовать определение обратной пропорции. Данные величины обратно пропорциональны, так как при увеличении общего числа деревьев в несколько раз (за счет дополнительно посаженных каштанов) процент лип в нем уменьшается во столько же раз (так как, по условию, количество лип в общем числе деревьев не изменяется).

Правило

Обратная пропорция

Пусть дана обратная пропорция:

\(\displaystyle a\)               \(\displaystyle b\),

\(\displaystyle c\)               \(\displaystyle d\).

Тогда можно записать следующее равенство:

\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).

Тогда получаем уравнение:

\(\displaystyle x\cdot 450=48\cdot 600\);

\(\displaystyle x=\frac{48\cdot 600}{450}=64\).

Ответ: \(\displaystyle 64\%\).