Skip to main content

Теория: Представление дробей в виде конечной или периодической десятичной дроби

Задание

Найдите периодическую дробь, равную \(\displaystyle \frac{1}{44}\):

\(\displaystyle \frac{1}{44}=0,\)\(\displaystyle (\)\(\displaystyle )\)

В последнюю ячейку (в скобках) запишите минимальный период, а в остальные – по одной цифре в каждую ячейку.

Решение

Разделим \(\displaystyle 1\) на \(\displaystyle 44\) в столбик, производя деление до первого повторения делимого внутри процесса деления:

                      шаг 1 шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг 5  
Добавление дополнительного нуля: 10 → 100 Шаг 1 \(\displaystyle -\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 0\)       \(\displaystyle 44\)              
Вычитаем 88 из 100 Шаг 2   \(\displaystyle 8\) \(\displaystyle 8\)       \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle ,\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle \color{blue}{2}\) \(\displaystyle \color{blue}{7}\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle \dots\)
      \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \color{red}{1}\) \(\displaystyle \color{red}{2}\) \(\displaystyle \color{red}{0}\)                    
Вычитаем 88 из 120 Шаг 3     \(\displaystyle 8\) \(\displaystyle 8\)                    
        \(\displaystyle -\) \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle 0\)                  
Вычитаем 308 из 320 Шаг 4     \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 8\)                  
          \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \color{red}{1}\) \(\displaystyle \color{red}{2}\) \(\displaystyle \color{red}{0}\)                
Вычитаем 88 из 120 Шаг 5         \(\displaystyle 8\) \(\displaystyle 8\)                
                \(\displaystyle \dots\)                

 

Так как на третьем и пятом шагах получаем одно и то же делимое (число \(\displaystyle 120\)), то последовательность цифр \(\displaystyle 27\) в частном, полученная с третьего по четвертый шаги, будет непрерывно повторяться.

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{1}{44}=0,02\color{blue}{27}\color{red}{27}\color{green}{27}\ldots\)

и, следовательно, можно записать минимальный период периодической дроби:

\(\displaystyle \frac{1}{44}=0,02(27).\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{44}=0,02(27).\)