Skip to main content

Теория: Понятие отрицательного показателя степени (числа)

Задание

Найдите показатели степени:

7
= \displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}} =
1
7
Решение

Мотивация определения отрицательной степени

Так как мы умеем вычитать лишь из большей степени меньшую, то, разделив и числитель, и знаменатель дроби на величину, равную числителю, получаем:

\displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}}=\displaystyle\frac{7^{5}:7^{5}}{7^{8}:7^{5}}=\displaystyle\frac{1}{7^{8}:7^{5}}=\displaystyle\frac{1}{7^{8\,-\,5}}=\displaystyle\frac{1}{7^{3}}.

 

Если же предположить, что свойство вычитания степеней является верным и при вычитании из меньшей степени большей, то мы могли бы записать:

\displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}}=7^{5\:-\:8}=7^{\,-3}.

В этом случае с одной стороны

\displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}}=\displaystyle\frac{1}{7^{3}},

а с другой стороны

\displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}}=7^{\,-3},

и тогда выполнялось бы равенство:

7^{\,-3}=\displaystyle\frac{1}{7^{3}}.

На основе вышеизложенного введем определение для отрицательной степени числа.

Определение

Отрицательная степень числа

Для любого ненулевого числа a и целого числа n полагаем:

a^{\,-n}=\displaystyle\frac{1}{a^{\: n}}.

Так как определение отрицательной степени мы ввели так, чтобы свойство вычитания степеней выполнялось для любых натуральных чисел, то

7^{\,5-8}=\displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}}=\displaystyle\frac{1}{7^{8-5}},

и, следовательно,

7^{\,-3}=\displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}}=\displaystyle\frac{1}{7^{3}}.

Ответ: 7^{\,-3}=\displaystyle\frac{7^{5}}{7^{8}}=\displaystyle\frac{1}{7^{3}}.