Skip to main content

Теория: Понятие отрицательного показателя степени (числа)

Задание

Найдите показатель степени:

 

\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\frac{1}{6^{\,-3}}}}= 6\)
Решение

Для того, чтобы привести данную дробь к обыкновенной, мы трижды используем определение отрицательной степени.

Определение

Отрицательная степень числа

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и любого целого числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{a^{\,n}}=a^{\,-n}}.\)

Раставим скобки в данной дроби (которые для удобства опускаются):

\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\frac{1}{6^{\,-3}}}}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\Biggl(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\frac{1}{\color{blue}{6^{\,-3}}}\right)}\Biggr)}.\)

 

Преобразуем первую скобку в соответствии с определением отрицательной степени:

\(\displaystyle \frac{1}{\color{blue}{6^{\,-3}}}=6^{\,-(-3)}=\color{green}{6^{\,3}}.\)

Подставляя в нашу дробь, получаем:

\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\Biggl(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\color{blue}{\frac{1}{6^{\,-3}}}\right)}\Biggr)}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{6^{\,3}}}\right)}.\)

 

Преобразуем вторую скобку в соответствии с определением отрицательной степени:

\(\displaystyle \frac{1}{\color{green}{6^{\,3}}}=\color{red}{6^{\,-3}}.\)

Опять подставляя в нашу дробь, получаем:

\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{6^{\,3}}}\right)}=\frac{1}{\color{red}{6^{\,-3}}}.\)

 

Снова используя определение, получаем, что

\(\displaystyle \frac{1}{\color{red}{6^{\,-3}}}=6^{\, -(-3)}=6^{\,3}.\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{blue}{\frac{1}{6^{\,-3}}}}}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{6^{\,3}}}}=\frac{1}{\color{red}{6^{\,-3}}}=6^{3}.\)

Ответ: \(\displaystyle 6^{\,3}.\)