Skip to main content

Теория: Приведение периодической десятичной дроби к обычной дроби

Задание

Найдите обыкновенную дробь, равную периодической дроби:

\(\displaystyle 0,(087)=\)
 
Решение

Правило

Если \(\displaystyle a\),\(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c\) – цифры, то 

\(\displaystyle 0,(abc)=\frac{abc}{999}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 0,(087)=\frac{087}{999}=\frac{87}{999}.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{87}{999}.\)

 

Замечание / комментарий

Пусть \(\displaystyle x\) – обыкновенная дробь, равная периодической дроби \(\displaystyle 0,(087).\) Тогда

\(\displaystyle x=0,(087).\)

Умножим обе части уравнения на \(\displaystyle 1000\) для того, чтобы получить дробь с тем же периодом и целой частью (то есть умножим на \(\displaystyle 10\dots0\) с таким количеством \(\displaystyle 0,\) сколько цифр в периоде):

\(\displaystyle 1000\cdot x=1000\cdot 0,(087);\)

\(\displaystyle 1000\cdot x=87,(087).\)

Вычтем из полученного уравнения наше исходное уравнение:

\(\displaystyle 1000\cdot x-x=87,(087)-0,(087);\)

\(\displaystyle 999\cdot x=87;\)

\(\displaystyle x=\frac{87}{999}.\)