Один из углов, образованных пересечением двух прямых, в \(\displaystyle 5\) раз больше другого. Сколько градусов составляет бóльший угол?
\(\displaystyle ^{\circ}\)
Смежные и вертикальные углы. Свойства смежных и вертикальных углов
Внутри развернутого угла \(\displaystyle ABC\) проведен луч \(\displaystyle BD\). Он разбивает развернутый угол на два угла – \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle DBC\), которые называются смежными углами.
Сумма смежных углов равна \(\displaystyle 180\) градусов:
\(\displaystyle ∠ ABD+∠ DBC=180^{\circ}.\)
Если две прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O\), то углы \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle BOD\) называются вертикальными. Другой парой вертикальных углов являются углы \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle BOC\):
Вертикальные углы равны:
\(\displaystyle ∠ AOC=∠ BOD,\)
\(\displaystyle ∠ AOD=∠ BOC.\)
Пусть прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O\). При этом образуются четыре угла – это \(\displaystyle ∠ AOD{\small,}\,∠ BOD{\small,}\,∠ BOC{\small,}\,∠ AOC\):
Согласно условию задачи, один из углов в \(\displaystyle 5\) раз больше другого. Поскольку вертикальные углы равны, то углы, о которых идет речь в условии, могут быть только смежными. Поэтому для решения задачи выберем любые два смежных угла – например, \(\displaystyle ∠ AOD\) и \(\displaystyle ∠ AOC\), и найдем, чему равен \(\displaystyle ∠ AOD\).
По условию, \(\displaystyle ∠ AOD\) в \(\displaystyle 5\) раз больше, чем \(\displaystyle ∠ AOC\), то есть
\(\displaystyle ∠ AOD=5 \cdot ∠ AOC.\)
Поскольку \(\displaystyle ∠ AOC\) и \(\displaystyle ∠ AOD\) – смежные, то
\(\displaystyle ∠ AOC + ∠ AOD=180^{\circ}.\)
Тогда
\(\displaystyle ∠ AOC + 5 \cdot ∠ AOC=180^{\circ},\)
\(\displaystyle 6 \cdot ∠ AOC=180^{\circ},\)
\(\displaystyle ∠ AOC=\frac{180^{\circ}}{6}=30^{\circ},\)
\(\displaystyle ∠ AOD=5\cdot 30^{\circ}=150^{\circ}.\)
Ответ: \(\displaystyle 150^{\circ}.\)