Skip to main content

Теория: Свойства умножения и деления степеней (параметр)

Задание

Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, c\) и ненулевого числа \(\displaystyle b\) найдите показатели степеней выражения:

\(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8} = a\)
\(\displaystyle \cdot \, b\)
\(\displaystyle \cdot \, c\)
Решение

Правило

Произведение степеней

Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда

\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)

Менее формально: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.

Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:

\(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8}= {\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,3} \cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8}= ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16})\cdot ({\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8}).\)

Затем воспользуемся правилом сложения степеней:

\(\displaystyle ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16})\cdot ({\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8})={\color{red}{a}}^{\,3\,+\,2\,+\,16}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,2\,+\,1\,+\,8}= {\color{red}{a}}^{\,21}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,11}.\)

В получившемся произведении присутствуют \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle c\), но нет \(\displaystyle b.\) Это означает, что \(\displaystyle b\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:

\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}=a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8}= a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)

 

Замечание / комментарий

Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle b\) в нулевой степени дается следующим образом.

В произведении

\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}\)

присутствуют \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle c\) и нет \(\displaystyle b.\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, и поэтому \(\displaystyle b^{\: 0}=1,\) то

\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}=a^{\: 21}\cdot \color{red}{1}\cdot c^{\,11}= a^{\: 21}\cdot \color{red}{b}^{\: 0}\cdot c^{\,11}.\)