Skip to main content

Теория: Дополнение до полного квадрата разности - 1

Задание

Считая параметр \(\displaystyle x\) положительным, дополните выражение удвоенным произведением  так, чтобы получился полный квадрат разности положительных чисел, и запишите его:
 

\(\displaystyle x^{\,2}-\)\(\displaystyle +9^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2=a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\, 2}=x^{\, 2},\)

\(\displaystyle b^{\, 2}=9^2,\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\,\color{red}{?}.\)

Из того, что  \(\displaystyle a^{\, 2}=x^{\, 2},\)  следует, что  \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-x}\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).

Из того, что \(\displaystyle b^{\, 2}=9^2,\) следует, что  \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{9}\) или \(\displaystyle \color{green}{-9}\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).

Поскольку параметр \(\displaystyle x\) положителен и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{x},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{9}.\)

Тогда

\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot 9,\)

\(\displaystyle 2ab=18x.\)

Таким образом,

\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2=x^{\,2}-18x+9^2\)

и

\(\displaystyle x^{\,2}-{\bf 18x}+9^2=({\bf x-9})^2.\)


Ответ: \(\displaystyle x^{\,2}-{\bf 18x}+9^2=({\bf x-9})^2.\)

Видео аналогичной задачи