Считая параметр \(\displaystyle x\) положительным, дополните выражение удвоенным произведением так, чтобы получился полный квадрат разности положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle x^{\,2}-\)\(\displaystyle +9^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2\)
является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2=(a-b\,)^2,\)
\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2=a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Нам известны квадраты
\(\displaystyle a^{\, 2}=x^{\, 2},\)
\(\displaystyle b^{\, 2}=9^2,\)
но неизвестно удвоенное произведение
\(\displaystyle 2ab=\,\color{red}{?}.\)
Из того, что \(\displaystyle a^{\, 2}=x^{\, 2},\) следует, что \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-x}\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Из того, что \(\displaystyle b^{\, 2}=9^2,\) следует, что \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{9}\) или \(\displaystyle \color{green}{-9}\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Поскольку параметр \(\displaystyle x\) положителен и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком \(\displaystyle "+"{\small:}\)
\(\displaystyle a=\color{blue}{x},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{9}.\)
Тогда
\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot 9,\)
\(\displaystyle 2ab=18x.\)
Таким образом,
\(\displaystyle x^{\,2}-\,\color{red}{?}+9^2=x^{\,2}-18x+9^2\)
и
\(\displaystyle x^{\,2}-{\bf 18x}+9^2=({\bf x-9})^2.\)
Ответ: \(\displaystyle x^{\,2}-{\bf 18x}+9^2=({\bf x-9})^2.\)