Дополните выражение до полного квадрата разности и запишите получившийся квадрат разности:
\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\big(\)\(\displaystyle \big)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}\)
является полным квадратом разности, и необходимо найти второй квадрат.
Следовательно,
\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=(a-b\,)^2,\)
\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=a^{\,2}-2ab+\color{red}{b^{\,2}}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Нам известен один квадрат и удвоенное произведение
\(\displaystyle (4x\,)^2=a^{\,2},\)
\(\displaystyle 8xy=2ab,\)
но неизвестен второй квадрат
\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Из того, что \(\displaystyle a^{\,2}=(4x\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle a=4x\) или \(\displaystyle a=-4x.\)
Если \(\displaystyle a=4x,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle a\) в равенство \(\displaystyle 8xy=2ab,\) получаем:
\(\displaystyle 8xy=2\cdot 4x\cdot b,\)
\(\displaystyle 8xy=8xb,\)
\(\displaystyle b=\frac{8xy}{8x},\)
\(\displaystyle b=y.\)
Поэтому недостающий квадрат равен
\(\displaystyle \color{red}{?}=y^{\,2}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+\,\color{red}{?}=(4x\,)^2-8xy+\color{red}{y^{\,2}}\)
и
\(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+{\bf y}^{\,2}=({\bf 4x-y}\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (4x\,)^2-8xy+{\bf y}^{\,2}=({\bf 4x-y}\,)^2.\)